La normale

coupe le plan xoy au point LE 0) X = x + pz, Y = y + qz.

Le point symétrique par rapport à o.

X = — x — pz, Y = — y — qz, 20 sera dans le plan tangent Z—5=pX — x) + qY— y) si l’on a :

z = p(2t + pr) + q(2y + qu) (1) a(pe + qy) + zp? + q—1)= 0.

2° Un cylindre parabolique parallèle x oy, dont la base serait une

parabole de foyer o, de directrice parallèle à oz, a pour équation

D — 2 — 9ax.

pa £

Si on fait tourner les axes autour de oz, on a l'équation générale des cylindres qui correspondent à l'énoncé

(2) 2? — a? — 2a(x cos a —- y sin 4)

cette fonction z est une solution de l'équation (1), car on en déduit :

pz = — a cos 4, gz = a sin « 2? NS a?

(p? + q°?)z? — a?, (px + qy) = à(y sin a — x cos 4) — à

3° La solution (2), qui contient deux constantes arbitraires a, &, est une intégrale complète.

4° Les équations diflérentielles des caractéristiques de. (1) sont :

Le US ER ARE ee A em DE a ON TM L'an le er Re D Jar qe GE RARE à ee ER dz Ac 2(T<+pz) LKF+-q) pe Hp Ep + 2) — dp AE — dq

TC CONTRE à En tenant compte de l'équation (1), le dénominateur de dz se réduit à z{p° + g?° + 1), et l'on a :

dz —dp — dq = TL — 4, DT — €, z — c!.

ah q F :

On a alors dx dy

Ted eq y+e—= c{x + c).

L'équation (1) donne enfin : (cr + c'y) = 2? — € — 6?

249. La normale A a QE re p q — I coupe le plan xoy au point N,

À — x +-pz, Y = y + qz.

Le plan tangent le coupe suivant la droite RÉ x) + AY TH 2,0.

La distance de N à cette droite est