AAES DO RE) VIN

in OU

on a ainsi l'équation aux dérivées partielles des surfaces S :

24 +p +) = (p + q)f(G) ou

oo PROBLÈMES D ANALYSE MATHÉMATIQUE

2° Soit Z — w(z) la nouvelle fonction inconnue; on a

00 ; ; PR E py(e Q= gets)

pe que pu ( OV e |

FA

Si l'on pose

eu) = sn J@) EVIGP —

on sera ramené à P? + Q? — r.

Cette équation admet l’intégrale complète

Z—=xcosx+7ysina+c pour laquelle P E=NCOSIG OO —

Et pour l'équation (1)

p(z) = & cos a + y Sina + c.

L'intégrale générale de l'équation (1) sera donnée par les deux équations :

(2) o(z) = x cos à + y sin à + F2) (3) 0 — — x sin a + y cos à + F'(a).

S1iz est constant, ces équations représentent la courbe enveloppe de la droite (2), dont la distance à l’origine est F(&) — o(z). Lorsque z varie, les projections de ces courbes sur le plan xoy sont des courbes parallèles.

3° Pour une courbe quelconque de la surface S, définie par les

équations (2) et (3), on a :

n Ç æ — (w(z) — F(x)) cos « + F'(4) sin « (4) ( y = (2(2) — F(a)) sin à — F'(x) cos a

Çç de — %(z) cos à dz — (4(z) — (a) — Fa) sin da : dy — y{z) sin x dz + (o(z) — F(a) — F'{(:)) cos «da si

Z—C, di = 0, dx LANSNOr PAS Sin à ——Cos a

une courbe a sa tangente perpendiculaire à celle de la section z—c, si l'on a :

sin à dx — cos a dy — 0

(e(e) — F(2) — F'(e)jd2 — 0

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES foi

c'est-à-dire dx —= 0, ta == C.

Et, en effet, la surface est engendrée par des courbes situées dans les plans z — c, dont les projections sur xoy sont des courbes parallèles. En chaque point d’une de ces courbes, la normale à la

surface NAT Y— y VASE

cos 4 sin & — (2)

forme avec l'axe oz un angle constant, dont la cotangente est g'(2). Les trajectoires orthogonales sont représentées par les équations (4), où & est constant et z variable.