La normale à la surface
M iv dirt 2 PDC UNE
coupe le plan xoy au point KT pr, Y = y + qz- Z — 0.
La distance de ce point à la projection (x, y, o) de M est
=\/p° + 4 ee ET
Lol PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE on a l'équation aux dérivées partielles (p? + q) = à.
2° Les équations différentielles des caractéristiques sont :
dæ dy LE — dpi OS ag
D VTT p? q2
OL
Ne
Si on prend l'intégrale de l'équation dq
fa , q EP:
de l’équation aux dérivées partielles on déduit
on peut poser » = Ÿ cos — sin} FR DATE AE a !
dz — - (cos y dx + sin y dy)
on a l'intégrale complète
2? — 2a(x cos y + y sin y) + c’
où y et c' sont deux constantes arbitraires.
3° En tenant compte des relations gz — a sin }, pz — a cos y, les équations différentielles des caractéristiques donnent :
SU adx = 2 cos Y dz.
Les caractéristiques ont pour équations :
VE IC He OUT 92 = sin 2? cos Ÿ — 24% 4 4b où b, c, y sont trois constantes arbitraires. Ce sont des paraboles, dans des plans parallèles à oz, dont les axes sont dans le plan xoy. Ces paraboles sont toutes égales, en
faisant tourner les axes de l’angle 7 autour de oz, on ramène en effet leur équation, dans leur plan, à
— 24C Sin Ÿ.
COS y
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES Ao5
On peut remplacer les trois constantes en fonction des valeurs
initiales # ' 2 1 a” Los Yo» <0» Po’ do» ou Po = To — 22 4 "a Z 3 Z z cos y — Po , sin y — 1070, OT Lois anne PERRET PA À i 4 Po
les équations de la courbe caractéristique sont alors
Ü ; Y—Y)= (xx), sax — x) — (2 — 23)
PPS Pofos 2 Goéos Ces équations définissent une parabole, et, en chaque point (x, y, z) de cette courbe, le plan
Ds =pX — a) + qe y) = px + QoY — por — A ) qui est perpendiculaire au plan q(X — x) — po(Y — 9) de la parabole. L'élément donné définit un point M(x,, Yo, Zo) et un plan P,(Po, 4) passant par ce point. La caractéristique correspondante est dans le plan passant par M,, parallèle à oz, et perpendiculaire au plan P,, son axe est dans le plan xoy. La tangente en M, est dans le plan P,, cette parabole est ainsi déterminée, car elle est égale à la parabole ayant pour équation (dans son plan) y” = 2ax. En chaque point de cette caractéristique les valeurs p, q déterminent le plan passant par la tangente à la parabole, et perpendiculaire à son plan.
4° Les surfaces intégrales qui passent par le point (x, y, z) sont tangentes au plan a?
Z—2z—=piX — x) + q\ — y), où p+g—
