PA

Ces plans peuvent se représenter par l'équation

où y est une constante arbitraire. L’enveloppe de ces plans, lorsque y varie, est le cône de révolution

Gp) + — 7).

On appelle courbe intégrale, une courbe qui, en chaque point,

est tangente au cône qui a son sommet en ce point. Ces courbes doivent vérifier l'équation différentielle :

z°dz? — a°(dx? + dy?) . 0 A L4 r 4 qui exprime que la tangente à la courbe est une génératrice du cône. Pour déterminer ces courbes intégrales, on peut choisir arbitrairement la relation y — /(z) et l'on a une équation différentielle entre x et z.

5° L ji SRE RNS ; Der . . :

9° Les courbes caractéristiques qui passent par le point (0, 0, z;) ont pour équations :

VE Een (2? — 75) cos y — 2ax.

Le lieu de ces courbes est la surface : 2? — 72 — 24 Var? + y}.

Il est facile de vérifier que c'est une surface intégrale. 6° Si une surface intégrale contient la droite x = ÿy — z, en un

point æ, — Yo == 2, le plan tangent doit passer par la droite, ce qui donne ; L: 2 ss Po. tee: art honte "D re ons sb PSV TE On a les caractéristiques pe FAN RS TE ne 2) Re GE Y — To = (t — %) PEUT, (2 — x)poto = 24& — %5)

ou, en posant x, — l:

(x +y— bp, = zx —1t, (22 — PE 2a(x + y — où)

3 /oa?

ME Panel Copa demi AV Pr ee

aux deux signes + correspondent deux nappes de surface, qui se coupent sur la droite x — y — z, et correspondent aux deux plans tangents.

7° Les courbes intégrales situées dans le plan z — x doivent vérifier l'équation différentielle

ady? = (x? — a*)dx?

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ho7 La courbe qui passe par le point x = z — à, y — o sera : ; LT LT? — a RME à Dar VX ++ 05

=: 2} Æ 9ay = xVx? — a

cette courbe c peut se représenter par les équations :

a M fete ÿ ET sin? {

ni 216 L cote =) O 2

le signe Æ est inutile; car, si on change { en x — {, x ne change pas, et y change de signe.

8° Une surface intévrale peut être engendrée par les caractéristiques qui sont tangentes à une courbe intégrale. À chaque valeur de { correspond un point de la courbe intégrale €, la tangente en ce point est déterminée par

a cos £ cos* £ d —— 17 =—t4— Mod — — RARE Mes dr ue de, dy APTE

di

la courbe caractéristique

Y=Lgi+ec, Z

passera par ce point, et aura même tangente, si

tg y — cote i, COS Re sin

s FT qui donnent y — Ce l, et

a af cos L b— — ——, = — ie L cot :) sin t 2\sin? { ur 5 on a les caractéristiques :

a/ cos | t — x cotg { — ee L cotg - J à 2\sin*? in D 9 FH a?

z* SIN {= 20C —— sin £

ces équations, où { est un paramètre variable, représentent une surface intégrale.