Le plan tangent

Z— = px — x) + qÜY — y) coupe le plan x&oy suivant la droite

pPX + qY = pr + qy — z.

La droite qui joint o à la projection de M, a pour équation

doi APR a elle coupe le plan tangent au point :

D MN nt MAN PA A NULS NRE Ne Rene PEN P& + qÿ

la distance de ce point à l'origine est

on a l'équation linéaire aux dérivées partielles :

(pe + q) (Ve + —b) = Ve + y

où le radical peut être changé de signe.

Les équations différentielles des caractéristiques sont :

dx __dy dzVx?+y?—b xdx + ydy

CNE ADN ANNE page in EE RES

LÉO ds | dVr + y

ni ES LS Vip) g qi V a ue ee b).

ne surface intégrale sera le lieu de ces courbes, sta— Une surf tégral le lieu d bes, obtenu en éta blissant une relation arbitraire entre c et c’. Les courbes caractéristiques rencontrent la parabole Lie b, Y° — 242, si l’on a :

M 0e Ve 2ac' (V0? + y? — b) / 2 | | 1 REU b?e? — 2ac'b(Vi + €? — Hi = b ENT.

On a ainsi les courbes caractéristiques

Memo 2= (Va y — bjp IE ET

qui engendrent la surface intégrale :

AR A 6 2 — be + (x — b}yx? + y?

2aL

où ÿx? + y? peut être pris par le signe Æ.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 4o9

203. Le point m a pour coordonnées x, y, 0, le point N est l’intersection de la droite, Z = 0, Ÿ = — ; X, perpendiculaire au plan OMm, et du plan tangent

DEP PER Er QUE) ce point a pour coordonnées,

CE ER a A NE RUN Let 2 Are

? , AAC ÉHESUE PYERTR

Dé"

on à donc :

Bis Dh ne wh ailes mg A er Soit l'équation PT + Qy —1=p} —q® PORTE SR AE TI 7 c'est une équation linéaire aux dérivées partielles, dont les caractéristiques seront déterminées par les équations : MANIUEC dVIAT Lede D AE VAE

xædy — ydx __xdr + ydy dr

T° —+ M pt x? + y° EX Z

L(c® + y?) = arc tg ? + c

Dim

ou, en employant des coordonnées polaires dans le plan x07 :

à p— Pa Ve pflse sé

S1 on prenait le signe — pour le radical, il suffirait de changer le signe de y, celui de q changeant en même temps, ce qui revient à une transformation d’axes.

2" Les caractéristiques rencontrent la courbe

V0; 2 mil, ou HPE at à à 26 SON

si l’on a :

Le lieu de ces caractéristiques est la surface :

3° Sur cette surface, si p et o sont les variables, on a :

z— Vase”, de — (de + pds)

tu)

< SA EN CE nat ED 2V2p P

L'équation différentielle des lignes asymptotiques est :

d3? — 2pdodw — p?dw? — 0

Lo — (1 +ÿ2)w + c.

Les projections des lignes asymptotiques sont les spirales ? — Ce)

MA Ms re V2.