Le plan tangent

Z — p\ coupe l'axe OZ au point

QY= 1 — px — qy

PQ san 2 à

ZL = 2 — px — qy.

On a l'équation :

o—pe— q = EVE FT

équation linéaire aux dérivées partielles, dont les caractéristiques

sont déterminées par les équations

de ju de de __ sde + ydy A TR RO AVE re A AS on CLIN EUR L pdz — zd9 Jen per RE

f p° LE kLo — c!.

L'intégrale générale est

{4 z + kilo — 1

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 1x

ou = Ve RQ) — EL + y).

Soit l’hélice == COS LE, Messie 2= ah:

La caractéristique Were, rencontre l'hélice si l'on a :

c' — kLa + harctge,

tg l— x,

Le lieu de ces caractéristiques est la surface intégrale :

= + kLo — kLa + harc Lg 4 P TL

Ou NL == NI COS 0, V0 Sn; 0

\ surface engendrée par des hélices, qui correspondent à p — c, et dont la tangente forme un angle constant avec oz. Les sections z = c sont des spirales logarithmiques.

= 255. Les équations différentielles des caractéristiques sont A NN A dp __ dq SRE pluie

(EL © + hu) £

Les courbes caractéristiques sont définies par des équations donnant y, z, p, q en fonction de x, la tangente en un point a ses cosinus directeurs proportionnels à p, 4, 2U(x, y). Soit une surface intégrale z — f(x, y) passant par cette caractéristique, la section z = C aura sa tangente définie par l'équation o — pdx + qdy, ses cosinus directeurs sont proportionnels à g, — p, 0, ce qui montre qu'elle est perpendiculaire à la caractéristique.

2° Sur une courbe caractéristique, on a, si æ& est la variable indépendante

FAN ARENA 2 PANIER , 7 detinp pi + y?) = 2U(x, y) dq dp A QE be nr mr

h12 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE

Comme U est une fonction donnée de x et y, c'est une équation différentielle du second ordre entre y et la variable x, que vérifient les projections des caractéristiques.

3° Si les projections sont

y? + 2? + 2ax + b — 0, on aura

9 4 RG np ENT T NT LEO

On doit avoir

y Le NE M ce Lx YU!

LM NN RUE 2U La relation 2U Ua Du y'ES == 0

doit être une identité, il faut donc U,’ — o, U est une fonction de y seul,

mon D dope 2 U—“< LUN Le 4° Si à l'équation ' 4 24 Paie y

on Joint l'intégrale des caractéristiques p = c, on a

ENERE 1 P

dz — cdx ri Ve Ty if c? dy ES cdx + RES ES 7 PET QUES dy . NÉ , Voa—cty?

ANT at — 24 5a — c?vi 2 68 + Vars — voa AVE c*Yy ue

c'est une intégrale complète.

Les caractéristiques sont déterminées par les équations

EE An ART PE y°dq

D'OR NNIO ENS UN ‘1 qui donnent :

puis cydy 2ady dx RS dz — — DT FT Ta fi. D OM f2a — c'y* 24 L ) y? NM fev Dee START M — —— ROLE AL eee CE VS ex + aa — c°y? — c!, dan ons EE ir

\ Une caractéristique rencontrant la droite x — z — o engendrera

une surface intégrale, si le plan tangent passe par cette droite 0Y, ou si g — 0, ce qui donne :

à 24 —- 24 Dies c'e Cho, Perl Lee et c' — ÿo2a Le.

On a alors les caractéristiques :

LA ERA 0) re Em Cy

ex + V2a — = 0,

qui engendrent la surface

256. Un point du cylindre d’axe 0z a pour coordonnées LR cos tu, y =Rsin v, Z

supposons z fonction de w, ce point décrira une courbe dont la tangente a pour équations :

— KR sin w R cos w z'

cette tangente coupe le plan xoy au point :

Z—0, X=R(cosw+sinu), Y=R(sinw— * cos w).

Ce point sera sur un cercle de centre 0, si sa distance à o est constante

Re (x —- Fa) — C

1h PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE

ou si — est constant. Soit

a pa à enr vie Des a On a la courbe € : ba æ — R cos w, y = KR sin ©, a 5e dont la tangente coupe le plan xoy au point | Ne LAURE 1 X = R(cos w + a sin w), Y = R(sin w — a °08 w) æ: T2 R à 92\ NU Ni (à) (1 + &).

a 2° Sur cette courbe, on a :

dæ — — R sin wduw, dy — K cos wdw, dz — be” dw ds? — (R? + be) du?

R? —— au) 2 240) :

ds re RL ANR SE de —+- b Ë di EAU VRe— 24 + p2 VR2 LL pre R / — RAT ES, 2e 24e, $ —= — rh L CRE CE VRe— 240 pe pb) + L VR? ie b2e?2° + c: a

3° L’aire comprise entre deux rayons vecteurs infiniment voisins est celle d’un triangle de base

ds = Ya? + y? + 7?du

dont la hauteur est la distance de l'origine à la tangente, distance dont le carré est égal à

le carré de cette aire est donc égal à

(Zx°2x"? — (Ex'x)?)du?

pi a+ y +2 —R+ ca ART ax! + yy + 22! — Pres

x'? Le pa Ze. z'? = R° TA be?

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES A x5:

Si À est l’aire conique balayée par OM,

lA \? D 9 b? 240) 2 > 240) bi au) (TR) = +50 ) (R? + b?e | ==

pr % 2 b° 2au) = RS Re m5 (1 + a?)e 2 — au) 2/ pe 2\ .24u) RES RON SA I AT a su a jé 2 Va2R?e— 24% + b2(1 + a?) a Va?R? + D'(1 + a°)e*"® EVE se (aRe—" + VarRie 2% D b(1 + &))

+ Va2R? + b?(1 + a?je + c!.

4° Une sphère tangente en o au plan xoy a pour équation x? + y? + 2? — 217 — 0.

La normale a ses cosinus directeurs proportionnels à x, y, et

Une surface, dont le plan tangent est Zip) + NY —7)} coupe cette sphère orthogonalement si l'on a :

LR À it a

équation entre les dérivées partielles p et q de z, dont les caractéristiques ont pour équations diflérentelles :

FMC sa 2zdz __ a(rdr + ydy QE cd) CAR AM Et + + y D CRAN me rN GE,

Une surface intégrale a pour équation x? + y? + 2° = f(À).

Une courbe caractéristique rencontrera la courbe. c si l’on a em même temps

æ—Rcosw, y—cx—kRsinv, + +aset cer

ces { équations déterminent «, y, © et ure relation entre c et c’. En éliminant x et y, on peut exprimer c et c' en fonction de w.

Fu b Hi R cos w Q

c — Îg w, (3

En conservant le paramètre w, on a les courbes caractéristiques

uns 2 2 Lot T 9 b? 240) y=ctgu etyt pee pe (RS 600)

qui engendrent la surface intégrale LA

* x? + y2 À b? 2aarc 2) Days A a Rs À (mn Le

257. Le plan tangent DT ÈS 0) UE coupe 0z au point L = 2— px — qy.

On a donc :

GE PTE ON) AN RAP EEE 2APE HE Qy) = a = y?

équation linéaire aux dérivées partielles, dont les courbes caractéristiques sont données par les équations :

D AURA 2242 __ 2(xdx + ydy + zdz) REA ANNE 2 POEMN* PLNINE ÊvE) m+y+s PA RE + y +z—=0c'x

Les surfaces intégrales ont pour équation :

x? Erin dé 22 2? ss xf() i 4j;

elles sont engendrées par des cercles tangents en 0 à oz. 258. La normale X—x Y—7y ZL—7z

P q ere | coupe le plan xoy au point À de coordonnées x + pz, Y + qz, 0. Le point P a pour coordonnées x, y, 0. Les droites OA et OP

T forment avec ox des angles & et {5 tels que & + f — F

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES on a l'équation :

APT — qy) = y} — x.

2° Les équations différentielles des caractéristiques sont :

de ru Lan, Di TE STE rx

a NT p EE BAT yE Les équations des caractéristiques sont

DREETT: LC + y +206!

Les surfaces intégrales :

Sp + À = (ay) 3° Les caractéristiques coupent la circonférence D, a + y? + 2? = 2a(a + x + y) si l’on a :

Le lieu de ces caractéristiques est la surface S :

(a? + y? + 22 -— aa?) — 16a?xy

a? + y? + 22 — 20? — La Yxy le radical pouvant être pris avec le signe Æ. 4° Sur cette surface, on a :

Vxy Vzy

An PE = a CET ù dpi y de ; xdy — ydx SAT ee Re . Es dx — xdy d(x + q:) = a Y Ke dat ve

L'équation différentielle des lignes de courbure peut s'écrire :

dix + pz) __ dy + q2)

dp dq OU :

(ædy — ydx) (ydq + xdp) = 0.

Le premier système est

y = CX.

Fagry. — Anal. 27

Pour le second système, on a :

xdp + ydq = 0, dz = pdx + qdy = pdx + xdp + qdy + ydq de pr ip) UT RERO EE

2e à 17 ox z —- a TT pm — y — C 7\ Vaxy a + y sa ÿxy — cz.

5° Les lignes de courbure du premier système peuvent se représenter par les équations :

Mere, x? + y? + 2? = aa? E facx circonférences qui passent par les deux points fixes

Die 0, z— + a V2.

Les lignes de courbure du second système sont représentées par les équations :

2? + y? + 2? + 20? — 20z ha?xy —= (cz — 24°)? = c?2? + aa? — cz)

mais on peut remplacer la seconde par

, \ c?z2 Grise

et représenter ces lignes de courbure par les équations z+y—=}X D? + y? + 22 Hg? — + az Wa(i + À?)

double système de cercles passant par les points imaginaires

A me M0 Lee Ya.

. Les plans passant par chacune des deux droites

Zz —0O, TH+Y—=O, et T—Y—O coupent la surface suivant deux cercles, qui sont des lignes de courbure.