PE +Y

2° Les équations différentielles des caractéristiques sont :

CE RER À AR 2zdz ___ 2(xdx + ydy + zdz) x y LP D — 2 De 4e y? + 2

on a les surfaces 2 2 2 x ER A +2 af(d).

3° Sur cette surface, on a :

(ep = f(2) — 27 (2) LI ap GER CL):

L'équation différentielle des lignes de courbure peut s’écrire :

de + pz)dq = dy + q2) dp ou, en posant y — {x :

— tf"(bdtdq = f'(t)dtdp di(ydq + xdp) = 0.

Le premier système J=cm, ++ a/f(o)

est formé de circonférences. On peut vérifier qu’en chaque point d'une de ces circonférences le plan tangent forme, avec son plan, ‘un angle constant, ou que la normale à la surface,

AT __ YŸ — FE der 2 Jo +dO 7-JO

passe par le même point

AO) x—1o— 0, LC) à

Pour le second système, on a :

xdp + ydq = 0 2 = pdz + qdy = d(pz + qy) dust RAR M AP 2) SA MAN EE AG md à z LR (Z 1 0S ou :

ef(2) + 202 — 9(x? + y? + 2?).

4° Le point P a pour coordonnées, si = EAU ÉE X=e+pr= = (f() — f(D) Y=y+qg— JO PAS €) ces équations définissent une courbe.

Cela résulte aussi de ce qu’on peut considérer la surface comme “enveloppe de la sphère

gp? 28 — a (f(t) — PE) — »f (D = 0.

Pour tous les points de la caractéristique y — {x le point P est le même, c'est le centre de la sphère.

Le point (X, Y) décrit la courbe LÀ +zxr=o, a si l’on a l'identité :

21 0) + f(E) — tf'(Ù) = 0.

En prenant les dérivées, on a :

ro (= de

Si f'(0) = 0, on aurait f(t) — dt + c, X et Y seraient constant: et, en effet, la surface serait une sphère. On a donc :

fO—=?, SK) —32 + 2L(a) et La surface :

ac}

2? + y? + 2? — 2ùL À

260. Les sphères tangentes au plan xoz, en un point de oz, ont leur centre dans le plan yoz, leur équation générale est : 2 + (y — a) + (2 — b} — 0° (1) a? + y? + 2? — de 5 ra 20z + b?— 0 l°ona 2 + pz — bp = 0 Y+g:—a—bq —=o en éliminant a et b entre les trois équations, on a : p—?t+pz B

et l'équation aux dérivées partielles (E)

} aa