Soit z — f(x, y) la surface donnée, et la sphère

qui dépend des deux paramètres x et y. La surface enveloppe s’ob-

tient en prenant les dérivées par rapport aux deux paramètres : X—x+pl—o, Y — y + qg4 — 0.

L'équation (1) peut alors se remplacer, en supprimant la solution évidente Z — 0, par :

Z{1 + p° + q°) — oz.

Ces trois équations, qui donnent X, Y, Z en fonction des paramètres æ, y, déterminent la surface S. En un point de cette surface,

la normale coïncide avec celle de la sphère, et passe par le centre æ, y, z. Les cosinus directeurs de cette normale sont :

X—x AO 2p Y—7y 2q ZA NÉ PRNT MO E DOTE 2 Ta pr Pa ZL—: 1—p—9q 4 LD q"

2° On a l’équation aux dérivées partielles QG+pt+q)(c— x) +2p=0 les équations différentielles des caractéristiques sont :

dx dy dz dp __—dq

ap(c—x)+2z oqg(o—x) 2{x—c—p) 1—p+q 2pq

mais z + p(e — x) 1 DL =D Re 2, Î 1 P TRANS et l’on a aps dx p zæx—c

Si, à l'équation aux dérivées partielles, on joint l'intégrale

p = a(x — c), on aura — — 1 + 2az — «(x — c)?;

on obtiendra une intégrale complète, en posant : dz = a(x — cjdx +-ÿ— 1 + 2az — ax — c? dy d(oaz — a?(x — c}?)

2/2az — 1 — ax — c)? Pub ppt A ARE ON RS NU TEE OMAN La SN UNE c) D Arr À b)

intégrale complète, qui contient les constantes a et b.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES h25 En posant

MES", et Vie CE

on peut représenter l'intégrale générale, enveloppe de ces intégrales complètes, par les équations :

at = 1 + (@ — 0 + (y — JS) 2=i— (y — fO)f (0.

3° Ces équations expriment les coordonnées æ, y, z en fonction de deux paramètres, par exemple y et {. La première équation, en tenant compte de la seconde, donne :

tdz = (x — c)dx + (y — f}dy et la seconde : d = dt — (y — ff'dt — f'(dy — f'd.

La normale à pour équations :