PE RS ETES

comme ces fonctions dépendent l’une de x, l’autre de y, elles sont constantes, et

Re or es En FTP S PT np rem LOU arc tg f(x) —= ax + b Je) = tg (ax +b), f(x) = — 2 L cos (ax + b) + ce! el o(y) = — : L cos (ay + c) + c"

az — — L cos (ax + b) — L cos (ay + €) + c!.

En choisissant l'origine des coordonnées, on peut ramener l’équation de cette surface à la forme

az = — L cos ax — L cos ay, ou cos ax COS ay — € **

on en déduit :

z — ig axdx + tg aydy a a

— (LOST, — {gp ay FE MR REIN A nnone RRE SE a0) P ] 1 8 4 cos? ax” cos? ay?

L'équation différentielle des lignes de courbure est :

QG +itg” ax)dx + 1g ax tg aydy (1 + tg”* ay)dy + 1g ax tg aydx

ai + tg? ax)dæ a(i + tg* ay)dy dt dr cos? ay cos? ax NO Re ME, COS. 1 COS ax dy DARITE I PRES dx 1 2 1 cos? J) il tg Y 1 PA ar cos?—-\ 1 19 + {g Are “ T a T ax LÉ = Ltg(7 + Ÿ)—e + L ef ei ay l 2 2 1 — Îg ee

Les deux systèmes de lignes de courbure ont pour projections :

t( €: %) = 6 tg(T + æ). ts( + el 0 cotg( —+- æ)

Z 1 cos V — - — - a OVi+p + pr Net fn er

Les équations différentielles des caractéristiques sont :

da 24 GRR dz __—z2dp — :°dq

es — 9

PIN LUE pa qa”

428 PROBLÈMES D ANALYSE MATHÉMATIQUE Si on prend l'intégrale Lp = Lq + 0’, Dee

en tenant compte de l'équation aux dérivées partielles, on peut poser

COS Y sin y) ere g=——vVi—A,, p=qgtey—=—tlva—2

où est constant. On en déduit une intégrale complète : zdz

Var — 2°

— Va — 2 = x sin ÿ + y cos ÿ + c.

— sin ydx + cos ydy

De cette intégrale complète on peut en déduire une autre en posant c— — sin ÿ — Ê cos y — Va? = 72 — (x — a) sin y + (y — B) cos y et en cherchant l'enveloppe de ces surfaces, où ‘y est variable, c'est-à-dire en formant la dérivée par rapport à 7

(x — a) cos y — (y — $) sin * —o l'élimination de y donne :

Qt (na) y — 6)°

Une surface intégrale est l'enveloppe d’un système de ces sphères de rayon fixe a, dont le centre:x, f décrit une courbe plane. La surface est engendrée par un grand cercle, de rayon a, dont le plan reste perpendiculaire à la courbe décrite par le centre. C'est une surface canal.

264. La droite qui joint les points P(x, y, o) et Q(o, o, z) a pour équations

Le plan tangent Z—2:—=plX — x) + q(Y — y) est parallèle à cette droite, si

PE FC +2 = 0

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 429 ) 1 . . AVE r + n .

cest une équation linéaire aux dérivées partielles, dont les caractéristiques sont déterminées par les équations :

de 5 4 Eté di

2° En posant T — © COS W, Y—= ? sin w,

on peut représenter cette surface par l'équation

T pp———/f(ge), ou pz=e(w).

Pour qu'elle représente une surface de révolution autour de oz, il faut que z soit une fonction de 5, ou que {w) soit constant. On

a la surface

engendrée par l'hyperbole équilatère &z — a tournant autour de

son asymptote oz.

3° La surface

passe par la courbe

si l’on a :

On a la surface

4° Sur cette surface, on a :

ady — ydx dx

dr = € ( x =)

= /(xædy — ydx}? xdy —- ydx dx?

. s{(œdy — ydx) , xdy — yd NOUS de \

30 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE l'équation différentielle des lignes asymptotiques est : (xdy — ydx)? — hx(xdy — ydx)dx + ax°dx? — 0 xdy — ydx = (2 Ses V2)xdr EE (+)

TL ee (2 + ÿ2)Lx + C.

Les projections sur le plan x0z ont pour équation re = a? EVa 60 ou PRE Ve | 265. La projection du point M'(x, y, o) sur le plan tangent DENT RPORT ANNE CA est donnée par les équations :

RS Re À hs enr

P q DR ESP EP CN 1 QE de on a l'équation :

RE DS GTS

1 PRET TOR EE 0, Equation aux dérivées partielles dont les caractéristiques ont pour équations différentielles :

CR PEUT dz adp __ adq PAIE JE tu 1) 1 q a qui auront pour intégrales :

2ap = & + À, 2aq = y + B, 2 = a(1 + p? + q°), q — Cp.

Pour x — o on a :

B — 2aq, — Yo

1e LS D A Zo 2 __ 0 > 24% À = 2üp, = 20 \/T — 1 — qi; C— 1 — s