ERES

z cotg x, z COtg y

LA ee dé LU 4 < Le Ôz LI à L2 on en déduit, en prenant la dérivée de <: par rapport à y : z z — sin x} sin y

22 + sin y dæy (sin x + sin y}?

sin Æ —- Sin y

ns (o) z cotg y coitg x — otg x 5

__ 22? + 2z(sin © + sin y) 14 (sin æ + sin y}?

z cotg x colg y.

On peut calculer, de même, te ; et comme les expresssions Ôz SE

Ôz Z O°Z de 3 © 5, Se permuttent en permuttant x et y, et que Sxy a une

valeur symétrique entre x et y, on retrouvera le même résultat. Ce qui montre que la fonction z existe.

SLON Dose sin X, sin yetY, l'équation donnée devient :

(22 Y}zYdX (X + 2) X2dY (NH X)YXd = 0

Ou :

ZCYAX + XAŸ) + X?(2dY + Ydz) + Y{Xdz + zdX) — 0 ZU(XY) + X'd{2Y) + Y?d(Xz) — 0 d'XY d(zY di Xz en te 24 ur 2 dE

de PME ANR ra à DNA ER AE sin sin y “TN eXY — 1 cSsin æsiny1

267. En remplaçant zdy par d(y2) — ydz, on a la différentielle :

(axe? + à? + yzidx — (2? + &)d(yz) + 22(yz — x?)dz —

— yid(e + 2?) — (x + 2° )d(yz) + (2x2? + x?)dx — 2x?zdz —

= (yz — 2° )d{x + 2?) — (x + 2?)d(yz) + 2x(x + 2?)dx —

= (2 — ee + 2) — (0 + 2)dlyz — 2?) — — udv — vdu

u — yz — x?, WE LH 2.

re

udv = UOILE= O ON AUrTA U— cv

yz — x? = c(x + 2?).

268. On pourrait vérifier si la condition d'intégrabilité, résultant

d culs. L'équation peut s’écrire :

3(2y — 32) (8yz

ou, en posant 2y — 32 —u

3u(8yz — x?)dx + Garda + 16x(32°dy — 2y°dz) — 0. Mais 32? dy — 2y*dz = (2y — u)zdy — (3z + u)ydz — — yz{2dy — 3dz) — u(zdy + ydz) = yzdu — ud(yz).

L'équation donnée devient alors :

3u(8yz — x?)dx + 2x(3x? + Syz)du — 16xud{yz) = 0 (3x? + 8yz) (3udx + 2xdu) — 12ux?dx — 16uxd{yz) — 0 (3x? + 8yz) (3udx + 2xdu) — auxd(3x°? + 8yz) = 0 dx du d(Sx? + 8yz 3 NT 2 ne — 3Læ + 2L(2y — 3:) — 2L(8x? + 8yz) — 2Le ex one ARR

32? + OyZz

ne 2Y — 3cVx

Zz — J ee ° 3 + 8cyx ?

Fanny. — Anal,

e 5e A? est satisfaite. Mais cela résultera de la suite des cal-

x?)dxe + 6x*(2dy -— 3d2) + 16r{3:°*dy — 2y?dz) — 0

434 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE 269. Si z est considéré comme fonction de x et y, on aura :

De My À êz æ+ c a+) Je +)

équations qui ne changent pas si on permutte æ et y. On déduit de la première :