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ra — Fr ee 2(CB, BC).

2° Si ces conditions sont satisfaites, en considérant x ou y comme constant, z serait donné par une équation de Ricati. Soit z — 21 une solution supposée connue, fonction de x et y, on est conduit à poser

136 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE Comme 2, vérifie l'équation donnée, on en déduit : dz — dz, = [A(z? — 2?) + 2B(z—2,)|de + [A(z?— 25) + 2B(2— 2))dy

1 à ES EOr I d=— : A (az -— :) - 2B dx + : [A1(2z + à) +- 2B,]dy

du = — [oAzu + À + 2Bu)dx — [oA;zu + À, + 2B,u]dy

à ou

Se = = 2(Az, + Bju —- À, # — — 2(A 171 ge B,)u —B;;: TL

Equations linéaires que l'on intègre par quadratures. On peut d’abord considérer l'équation homogène entre u et ses dérivées partielles | du — — — 92(Az, + Bjdx — 2(A,z, + B,)dy

pour laquelle la condition d'intégrabilité est aussi satisfaite, ce qui est facile à vérifier. On intègre d'abord en supposant ÿ constant, la constante d'intégration, fonction de y, se détermine par une seconde intégration. Soit u — cu, l'intégrale ainsi obtenue. On pose u — uv, et on obtient, pour déterminer v :

u,dv —= == Adx — Ady

équation qui détermine v par quadratures.

Si on connait deux solutions distinctes, z,, z», de l'équation

donnée, on connaîtra une solution u, — 2 ne UE l'équation en u,

sHan et, en posant u — u, + v, on cst conduit à déterminer v par quadratures. On obtient une solution de la forme

U —=Uj + uv, 2 = 2 +

Si on donne à la constante À quatre valeurs déterminées, on peut vérifier que le rapport anharmonique des 4 solutions z est constant. Donc, si on connaît trois solutions 21, 2, 23 indépendantes, on aura la solution générale z, en posant :

Tire A à

3° La tangente à la courbe

x? — 97 — 4, 5y$ — 5x2 + maÿz + 4% — b

est déterminée par les relations :

«dx — 22dz

15y?dy + (3mx?z — 10x2°)dx + (mx + 202 — 15x°z°)dz = 0 19y*dy + (6maxz? + ma? — 15x°?2°)dz = 0 dx dy d:

30zy? 17 x2(19xz? — Gmz? — mx?) a 1522

S'il existe une surface z — f(x, y), normale à cette courbe en chacun des points de la surface, on devra avoir :

10xy®dz + 2°2(15:2? — Gmz? — mx?)dy + 30zy°dxr = 0

27 2m — 5x mar Pen ee A1 A 0e (ES Lz? + Pa )d æ 9}? 19y?

c'est une équation aux différentielles totales de la forme donnée, Où :

PS omx — 5x? ma ACIDE 0, | VE RE ÀA= ———— G= =>:

æ 9y 19y Les trois conditions trouvées se réduisent à : RE CG, —2 C êa Gas RANCE ; elles sont vérifiées si m — 0. On a alors 2Z RATS d = — = dx — — 20} dz dx , dy — 2 — + zx = — Aa d(zx?) Ga (AI h 2 RAT RE J ES ÿ 13.3 isa Ps. VER my CEE