Gette équation peut s'écrire

(y — 2) (3yz — x°)dr + 2x%(dy — dz) + 2x(2dy — y?d7) — 0 mais g'dy — ÿ°dz = (z — y)d(y2) + yz(dy — de) on a alors :

ax(a? + yz)d(y — 2) + (y — 2)(8yzdx — dr — oxd(y2)) — 0 2@(a? + yz)d(y — 2) — (y — 2) 2xd(x? + y2) + 3(y —2) (yz + x? )dr — 0

d(y — 2) d(x? + yz2) deu A na

ce qui montre que l'équation est intégrable, et donne 2L(y — 2) — 2L(x? + y2) + 3Lx = Le (y — 2)? — c{x? + yz} DU SUC EU

ï __ yaVxz —cx?

xx + dy Une méthode plus directe consiste à partir des relations ï 24 AE st 2 sx LÀ m2 DE De RE UN NUS PR ‘He “Hé —+- y) OV x? + y°

Si on considère d’abord x comme constant, la seconde équation donne

dz dy A? 4-22 x? + y?

FA ‘4 D rimes 4 arc tg = — arc tg À — arc tg 7 XŸ —0c x œ

ou Z— y x? | YZ

Emre 14 | |

cette constante uw étant une fonction de x,

y + au 1 —yu ;

La première équation donne alors :

02 2œu(1 — yu) + (x? + yet ( p sie En | DL (1 — yu) TE) 2m(x? + y) | a? — 3y? — Auyr?

2x(1 — yu} |

Pour que le problème soit possible, il faut que cette équation puisse être vérifiée quelque soit y ; et, en effet, elle se réduit à (x? + y?)(3u + axu') — 0

u 3 7e Re mn U—CX À.

272. Si la différentielle donnée est la différentielle d'une fonction (x, y), on aura |

= LR + y, eg te sep + agf(e — à)

RE

Pour que + existe, il faut que l’on ait

Ôxy Ôyx OU :

Loi LG EE9 PA 24 Hi ay + af jf" OT OYx 0Y LC Bay ES" at + f)

Pour intégrer cette équation aux dérivées partielles, où z est la fonction inconnue, on forme les équations des caractéristiques :

CDD LV dz *d{z — x) 2y f” 2y(1 + f") 2y p+o—i=e, 2—f{c—c=6.

La solution générale est r—f(—2)=çbt+e— 9

où f(z — x) est une fonction donnée et g(y*? + æ — 2) une fonction arbitraire.

2° Les caractéristiques coupent la courbe æ — 0, z — ÿ?, si lonac—o, c —— f'(2) restant arbitraire, on a donc l'intégrale, lieu de ces caractéristiques :

Z = ZX + y° qui est indépendante de f. On a alors la différentielle Ge + y}de + (ec + ay fy*))dy

qui est la différentielle de la fonction y +f