zdx + z°dy est une différentielle exacte, si l'on a
D a 0 22) Ôz Ron < RON — 0Y 0X 0X Ôz Ne 0Y ÔT
est une équation aux dérivées partielles, les caractéristiques sont données par les équations
ho PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE La solution générale serait x + 27y — f(z).
Les caractéristiques passent par la courbe y — 0, : — ÿx, si l'on a :
== Le lieu de ces caractéristiques est :
2? — 22ÿ + &, Z = y EVYE qui, pour y — 0, se réduit à z — ÿx.
2° Soit :
du = (y + VE) de + (0 + ay VITE 2) — ydx + xdy + 2y°dy + Vy? + x(dx + 2ydy)
u= &y +3) +30 L &) Yy? + x.
274. On peut considérer %, Yo, +, et z comme fonctions des deux variables indépendantes x et y. Posons :
dz = pdx + qdy, dx, — Adx + Bdy, dy, = A'dx + B'dy dz, — A'dx + B'dy.
Les identités deg + dy, + di = dx? + dy? + de?, dedx, + dydy, + dz dz, — donnent A? + A + A —1+p | À — — pA' (1)? B?+ BB? + B'? —7:7 + q? (2):
CAB AB AB" = pg B ——4#
Les plans tangents aux deux surfaces, aux points correspondants, ont pour équations :
Z—:—plx — x) + q(Y — y) NET OA ER
Les normales, et les plans tangents, sont parallèles, si l'on a :
G) A'B'— B'A' A'B-B'A AB — BA P ‘A q mr
En représentant par u une fonction auxiliaire, les équations (2) donnent
Are
pA”, B——pB'+u, A'——qA"—u, B' = — qB".
En éliminant A, B, A’, B', les équations (1) et (3) deviennent :
jp A" + p° + q°) + 2A'qu + uw? = 1 + p° B"°(1 + p? + 4?) — 2B'pu + uw? = 1 + q° A°B"(r + p° + q?) + (qB°" — p Au — pq
2 PAT Da ee tu — u(pB" — qA" — u).
Si u — 0, en éliminant A” et B”, les équations (4) donnent 1 + p° + q° — 0, ces équations (4) sont alors incompatibles. On a donc :
D // 1/4 hpies Et — pB"— qA'"— u P q
équations qu'on peut résoudre par rapport à A"et B':
(5) MP AE) uQ CBC + p° + q°) = up En éliminant A' et B", les trois équations (4) se réduisent à une seule ul + p +gq?.
On a ainsi :
NEPAL B REEe FN de es AUDE LS PAL PQ U U uU U NES ei au E yi + p? + Q?.
Il faut encore exprimer que x exactes, ou :
w Yo & sont des différentielles
n AE Ps ee SL 5 a (SE NRRT q
SPA Ô q Nebee ne el Ô 5E PRE u Ru FC:
