CHAPITRE V
122. Déterminer une courbe plane telle que la distance de l’origine des coordonnées à la tangente soit proportionnelle à l’abscisse du point du contact. (Bordeaux, novembre 1904).
123. La tangente en un point M d’une courbe C rencontre ox en T. Déterminer C de façon que le milieu de MT décrive la parabole y* — 2px. Construire la courbe C lorsque la constante d’intégration est nulle. (Lille, novembre 1909).
12/4. Déterminer une courbe plane telle que, si un point M de Ia courbe se projette en P sur OX, la tangente en M coupantOX en T, on ait la relation OP . PM — PT?. (Montpellier, novembre 1906).
120. Par un point M d’une courbe plane, on mène une droite MD de coefficient angulaire égal et de signe contraire à celui de la tangente. Déterminer la courbe telle que MD reste tangente à la parabole y? — 2px. Calculer le rayon de courbure en un point de cette courbe. (Bordeaux, juillet 1908).
126. Déterminer une ligne plane C, dont la tangente coupe les axes aux points À et B tels que
OA + OB — a.
1° Former l'équation différentielle des lignes CG; 2° Calculer, pour la courbe C qui correspond à l'intégrale singulière, la longueur À de l'arc compté à partir du point situé sur la droite y—x. (On prendra pour variable l'angle © de la tangente avec la droite y — x); 3° Former l’équation différentielle des trajectoires orthogonales des lignes C. Intégrer cette équation. Interpréter géométriquement les résultats. (Rennes, novembre 1908).
127. Etablir entre les constantes & et K une relation telle que l'équation (1) y = x tg « + Kx°
soit l'intégrale générale de l'équation différentielle
(2) + {es } — Ax(y — h) si + 2? — hhy + 4y° = 0.
2° Vérifier que l'enveloppe des paraboles (1), quand & varie, est l'intégrale singulière de l'équation (2) ; 3° On pose x — { cos &, de sorte que l'équation (1) donne y en fonction de {. Pour une valeur donnée de % on a ainsi une représentation paramétrique de la parabole (1). Si on considère 4 comme une fonction de t, f{æ, !) = 0, ces équations représentent une courbe quelconque S. Déterminer f(x, t) de facon que cette courbe soit une trajectoire orthogonale des paraboles. (Marseille, novembre 1908).
128. On donne le cercle x* + ÿ* — R°, et la parabole x? — 2p7 ; par un point M du plan on mène une tangente MP au cercle ; P étant le point de contact, le rayon PO coupe la parabole en Q. Déterminer une courbe telle que la tangente en tout point M de cette courbe passe par le point correspondant Q. (Bordeaux, juillet 1904).
129. Déterminer une courbe plane telle que le rayon de courbure soit égal à quatre fois la normale limitée à ox. On étudiera deux cas, suivant le sens du rayon de courbure. Dans chaque cas : 1° étudier la forme de la courbe et former ses équations en fonction d'un paramètre ; 2° calculer l'arc de courbe ; 3° calculer l'aire comprise entre la courbe ox, oy convenablement choisi, et une normale quelconque ; 4° chercher la relation entre le rayon de courbure et l’ordonnée. (Montpellier, novembre 1904).
