Déterminer les trajectoires orthogonales des courbes

Ce or à et où b est constant, et a est un paramètre variable. (Toulouse, juillet 1907).

131. Trouver une courbe plane telle que sa normale, limitée à l'axe ox, soit dans un rapport donné K, avec la distance de l'origine à la tangente. Cas particuliers où K — 1, 2, 3. (Grenoble, novembre 1903).

132. Déterminer une courbe plane C telle que la projection sur 0x du centre de courbure en M, et le point de rencontre de la tangente avec ox, soient symétriques par rapport à la projection P de M sur ox.

COURBES PLAXNES 27

2° Vérifier que la distance de P à la normale est constante.

3° Construire la courbe G et sa développée.

4° Calculer l’arc de la courbe C.

5° Calculer l'aire comprise entre un arc de la courbe C, l'axe ox et deux ordonnées. (Toulouse, juillet 1903).

133. La droite x sin 0 — y cos ÿ — 0 — cos Ÿ enveloppe une courbe C, dont on donnera la définition géométrique. Soit « le centre de courbure au point M de la courbe C. Sur la normale M, on prend le point P tel que wP — K.wM. Le point P décrit une courbe. Construire la tangente au point P en supposant d’abord K constant, puis K variable avec ÿ. Déterminer les courbes qui coupent les normales M sous un angle constant % ; et, en particulier, celle de ces courbes qui, pour Ÿ — o, passe par le même point que la courbe C. Déterminer sa développée. (Lille, juillet 1911).

134. La tangente au point M d’une courbe plane coupe l'axe 0x au point T, par ce point T on mène une parallèle TP à la normale -en M, qui rencontre en P la perpendiculaire à l'axe ox menée par M. On joint le point P au centre de courbure C de la courbe en M. La droite PC coupe ox en un point Q.

1° Déterminer la courbe connaissant l’abscisse X de Q.

2° Si X est fonction de x, cette détermination se ramène aux Quadratures ; on posera X — xf(x).

3° Traiter les cas suivants :

Ho KR Je, JG=z

où K est constant. (Lille, novembre 1910).

139. Déterminer les trajectoires orthogonales des cercles de rayon R, qui passent par O. (Caen, novembre 1905).

136. Une courbe C est représentée par l'équation y = f(x). Soit P la projection, sur ox, du point M de la courbe ; D la parallèle à la tangente en M, menée par P.

1° Calculer les coordonnées du point de contact N de la droite D avec son enveloppe.

2° Déterminer la courbe C telle que l’ordonnée de N soit les deux tiers de l’ordonnée du centre de courbure de la courbe en M. (Nancy, novembre 1905).

137. Soient MN et MT la normale et la tangenteenun point Md'une

courbe plane, limitéesà l'axe desx. Déterminer les courbes C telles que ON.OT — K?,

chercher les trajectoires orthogonales C’ des courbes GC. En un point de coordonnées posilives x,y, passent une branche de courbe GC et une branche de courbe C’, qui limitent une aire plane ; calculer cette aire. (Lille, juillet 1903).