On donne, dans un plan, un point O et une droite D

1° Déterminer les courbes C du plan, telles que la distance du point M de la courbe à la droite D soit égale à la distance du point fixe O à la tangente en M.

2° Par un point A du plan passent deux courbes. Trouver le lieu des points À tels que les tangentes en A soient confondues. Etudier la forme des courbes au voisinage du point A. (Paris, juillet 1903).

139. Condition pour que les courbes f(x, y, 4) — o aient un contact du second ordre avec leur enveloppe. Vérifier que les courbes

(y — aVa) 2 (x —— aV2—1) (2œ RE 5 jouissent de cette propriété. (Grenoble, juillet 1909).

140. Déterminer une courbe plane telle que la tangente et la normale en un point M interceptent sur la perpendiculaire menée

Là al 2 PNVE 4 par O sur le rayon vecteur OM une longueur égale à = OM, où a

est donné. Construire et rectifier une de ces courbes. (Lille, novembre 1906).

141. Soit æ sin & — y cos & = f(x) une droite mobile. Soit M le point de contact de cette droite avec son enveloppe. Etablir l’équaton différentielle à laquelle doit satisfaire la fonction f(x), pour que la longueur OM soit constamment égale au rayon de courbure en M de l'enveloppe. Montrer que son intégration se ramène à des quadratures. (Caen, novembre 1909).

1/42. On transforme homothétiquement une courbe (S) Y —{X), par rapport à un point P qui décrit une courbe {S,), le rapport K d'homothétie variant avec le point P. Déterminer K en fonction de la variable qui définit le point P sur (S,) de façon que les courbes transformées aient un contact du second ordre avec leur enveloppe.

Application : la courbe ($,) a pour équation y = 2x,, et la courbe {S), Y? — 4X. (Grenoble, juillet 1909).