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où {est un paramètre variable. Calculer l'arc d’une portion de la courbe ; 2° Déterminer le centre de courbure, les rayons de courbure, et de torsion ; 3° Calculer la surface du cylindre parallèle à oz, ayant la courbe c pour directrice, et limité à la courbe c, au plan xoy, et à deux génératrices. (Montpellier, novembre 1907).

146. Déterminer les trajectoires orthogonales des cercles qui

touchent l'axe oz en 0, et ont leurs centres sur la droite z— 0, x — 4. Montrer que ce sont des cercles situés dans des plans parallèles à oy. (Caen, juillet 1907).

I I ty. Sul surface À / co = + sine ZI

1° Déterminer les courbes c, v — f(u), telles que la tangente fasse avec 02 un angle &, ig « — 2. 2° Par un point M de S passent deux courbes c ; calculer les cosinus directeurs des normales principales et les angles qu'elles forment avec la normale à la surface. 3° Calculer les rayons de courbure et de torsion de la courbe c. (Lyon, juillet 1906, pratique).

148, On donne une courbe c et la sphère &° + y? + 2? = a. Montrer que la condition pour que les tangentes à la courbe soient tangentes à la sphère est que les coordonnées d'un point de la courbe vérifient la relation différentielle

(a? + y? +2 — a) de? + dy? + de?) = (xdx + ydy + zdz}°.

Calculer la longueur d'un arc de la courbe c, en fonction des coordonnées des extrémités. Montrer géométriquement que le plan osculateur à c est tangent à la sphère. Déterminer la courbe c par la condition qu'elle soit sur un cylindre de révolution autour de oz, et de rayon donné b. Dans ce cas déterminer le plan osculateur, les rayons de courbure et de torsion. (Bordeaux, juillet 1907). 149. Une courbe c a pour projection sur le plan æoy la sinusoïde y — sin x. Former l'équation différentielle à laquelle doit satisfaire z, considéré comme fonction de æ, pour que les normales principales de € soient parallèles au plan yoz. 2° Prouver que les tangentes font alors un angle constant avec ox. Ce résultat dépendil de la forme sinusoïdale de la projection de c. 3° La projection de c étant la sinusoïde donnée, indiquer la nature de c sachant que les tangentes font un angle de 45° avec ox. (Rennes, juillet 1906). 150. Une courbe $, tracée sur un cône de révolution, rencontre les génératrices sous un angle constant. Trouver le lieu S, des centres de courbure $. Démontrer : 1° Que lestangentes aux courbes S et S, aux points correspondants sont rectangulaires. 2° Que la courbe S, est sur un cône de révolution, dont elle coupe les génératrices sous un angle constant. (Grenoble, novembre 1904). 151. On considère les cercles passant par deux points fixes

COURBES ET SURFACES 3r de oz, symétriques par rapport à 0. Leurs équalions sont : YU y + 2 — aix — di — 0

où 4 et 9 sont deux paramètres arbitraires. On pose 0 — f({) : 1° Démontrer que les cercles ainsi déterminés sont les caractéristiques d'une famille de sphères S. Former leurs équations. Il y a exception pour certaines fonctions /, quelles sont ces fonctions ; 2 Si f n’est pas une de ces fonctions exceptionnelles, déterminer les lignes de courbure de la surface engendrée par la famille de cercles ; 3° Déterminer / de façon que le lieu des centres des sphères $ soit la courbe æ — F(y) du plan des xy ; cas particulier de la courbe x — y*. (Besançon, juillet 1906).

152. Sur la normale principale, en chaque point M d'une hélice circulaire S, dans le sens de la concavité, on porte une longueur constante MM, — / ; on considère la courbe S, lieu du point M. On demande de déterminer / de façon que les courbes $ et S, jouissent de l’une des quatre propriétés suivantes :

1° Les courbes $S et S, ont même courbure ;

2° Elles ont même torsion absolue ;

3° Les tangentes MT et M,T, aux points correspondants sont rectangulaires ; 4° La tangente MT, à S, est parallèle à la binormale MIX en M à $S. (Grenoble, juillet 1904).

e ARS à 153. On donne la courbe y — x°, z — 3%. 1° Trouver le lieu

des parallèles aux tangentes menées par l’origine, et l’enveloppe des plans parallèles aux plans osculateurs ; 2° Calculer l'angle de la tangente à la courbe avec la bissectrice de l'angle xoz ; 3° Déterminer les développantes de la courbe. (Nancy, juillet 1905).