NEC
Déterminer la fonction © de façon que l’une d'elles ait pour “équation {xt + y*) = (y? — x?}?(y? + x?). (Besançon, juillet 1910, pratique).
164. Une courbe de forme invariable, située dans un plan passant par 07, tourne autour de cet axe, en même temps qu'elle
glisse parallèlement à l'axe suivant une loi quelconque. Déterminer dans quel cas les lignes planes x == c sont des lignes asymptotiques de la surface engendrée. Quelles sont alors les autres lignes asymptotiques ; 2° Former, dans le cas général, en coordonnées rectangulaires (x, y), l'équation différentielle des trajectoires orthogonales des sections de la surface par les plans : = c. Dans quel cas cette équation est-elle homogène. (Toulouse, novembre 1908).
165. Par chaque point de la courbe x = t, y —#?, z-— 1, on trace la droite D parallèle au plan xoy, et rencontrant oz. Montrer que cette droite est dans le plan osculateur au point M de la courbe, Déterminer les lignes asymptotiques de la surface, lieu de la droite. (Nancy, novembre 1907).
166, Une surface $ est définie par les équations :
Ve 719 Me 0, Z—= a + uUX
où west une fonction des deux paramètres &, (5. 1° Former les équations du plan tangent et de la normale en un point de S; 2° L'équation différentielle des lignes asymptotiques ; 3° Montrer que les courbes & = c et f — c sont conjuguées ; 4° Que la développable circonscrite à S, le long d’une courbe 4 — c, est un cône dont le sommet est sur 0z; 5° Que, si u == AB + «B, + B, où À ne dépend que de &, et B, B:, B> de f5, la développable, circonscrite à une courbe B — c, est aussi un cône ; 6° Montrer que, si B, et B: sont des fonctions linéaires, la détermination des lignes asymptotiques dépend de quadratures. (Grenoble, novembre 1907).
167. On donne la surface : = à are tg Ÿ, et le cylindre paral-
lèle à oz, (x? + y°}? = ax? — y?), Calculer l'arc de la courbe c d’intersection ; 2° Calculer le volume situé dans l'angle des coordonnées positives, limité par le plan des xy, le cylindre, et la surface donnée ; 3° Calculer le rayon de courbure de la courbe c, et étudier ses variations. (Besançon, novembre 1902).
