On considère la cubique x — t, y — l?, z
Le plan osculateur au point M coupe l'axe oz au point A. On considère la surface réglée S engendrée par la droite MA. Déterminer ses lignes asymptotiques.
Dans le plan xoy on a les deux points B(x — y — 1), et C (x — 1,7 — 2), par chacun de ces points passent deux lignes, pro- Jections des lignes asymptotiques de S. Ces quatre lignes forment un quadrilatère curviligne BECD, dont B et C sont deux sommets opposés. Déterminer le volume du cylindre parallèle à oz. ayant pour base ce quadrilatère, et limité à la surface S. (Lyon, novembre 1910, pratique).
LIGNES ASYMPTOTIQUES 37 174. Déterminer les lignes asymptotiques de la surface æ— (1 +u)chv, y—=(1 —u)shv, HA US
2° Même question, en remplaçant le cosinus et le sinus hyperboliques par le cosinus et le sinus ordinaires cos v, sin v; 3° Rapprocher les deux questions. (Marseille, juillet 1911, pratique.
175. Soient R, et R, les rayons de courbure principaux en un point M d'une surface de révolution $. R\ étant le rayon de courbure qui correspond au centre de courbure situé sur l'axe. Former
$ A : Hat H30 l'équation diflérentielle de la courbe méridienne pour que }> soit
égal à une fonction donnée de l'angle © que fait avec l'axe le plan tangent à la surface au point M. 2° Intégrer cette équation en m 2 cos ®
176. Déterminer les rayons de courbure, et les centres de courbure principaux, en un point de la surface z — y tg x&. 2° Déterminer ses lignes asymptotiques. 3° Chercher le lieu des centres de courbure principaux en M, lorsque ce point décrit l’une des lignes asymptotiques. 4° Pour chacune des courbes obtenues, calculer la longueur de l’arc compris entre deux points donnés. (Montpellier, novembre 1908).
177. Soient &, (3, y les angles avec les axes 0%, oy, 07, de la normale à la surface z — f(x) + o(y).
1° Déterminer les fonctions f et © de façon que les rayons de courbure principaux soient liés par la relation (R + R,) cos y — C.
2° Montrer que l’on peut choisir ces fonctions de façon que (R —- R;) cos y tg x tg {5 soit, en mème temps, constant.
3° Déterminer les lignes de courbure de ces dernières surfaces, et les centres de courbure principaux. (Montpellier, juillet 1906).
178. On considère la surface S, enveloppe de la sphère variable
Re
supposant p — 1. Cas où m— 0. (Paris, novembre 1907).
G— a +(y—for+a=r
Trouver géométriquement une famille de lignes de courbure. 2° Démontrer que la seconde famille est formée de courbes planes, qui se projettent sur le plan xoy suivant des courbes parallèles. 3° Déterminer les centres de courbure principaux en un point des. (Bordeaux, juillet 1910).
38 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE 179. Vérifier que les deux systèmes de sphères :
ax}? + (x? + y? + 2? — a?)À + 2ay = 0 a + y? + 2? + a? — aa(x + y) cos 4 + 24z Sin pr
où À et x sont des paramètres arbitraires, ont même enveloppe. Déterminer les lignes de courbure de cette enveloppe, les centres de courbure principaux, et le lieu de ces centres de courbure. (Marseille, novembre 1907).
