Une surface a pour équation

Soient C et C’ les centres de courbure principaux au point M, À le milieu de CC’. Déterminer les fonctions f et w de façon que la projection de MA sur oz soit constante. Calculer les rayons de courbure principaux pour les surfaces obtenues. Déterminer leurs lignes asymptotiques. Si &, {5 sont les angles de la normale en M avec ox et 07, D la projection de CC’ sur oz, montrer que, parmi les surfaces obtenues, il y en a pour lesquelles D tg x tg £ est aussi constant. (Montpellier, juillet 1908).

181. Les courbes planes formant une famille de courbes paral-

lèles ont même développée. Application aux courbes parallèles à la courbe :

æ — Yu) cos u — V/{u) sin u, y —= Yu) sin u + Y(u) cos u.

2° Lignes de courbure et rayons de courbure principaux de la surface engendrée par la courbe

æ —= Yu) cos u — V'{u) sin u +- w(z) cos u

y = Ÿ{u) sin u + Ÿ{u) cos u + o(z) sin u

quand uw varie, Mode de génération par chacun des systèmes de lignes de courbure. Montrer que la surface est une surface moulure. (Grenoble, juillet 1908).

182. Déterminer les lignes de courbure de la surface k : ° u ' æ == SIN ü SIN v, Y —= SIN u COS v, z—cosu+Lits: + f{v).

Montrer que l’un des systèmes c, est formé de courbes planes, et l'autre c: de lignes sphériques. Déterminer f de façon que les plans

des courbes c, rencontrent la surface sous le même angle. Quelle est alors la relation entre u et v qui détermine les courbes c;. (Grenoble, novembre 1908).