Un plan a pour équation
æ cos 0 cos & + y cos Ô sin ? + z sin 0 — f{0).
Déterminer les coordonnées du point de contact de ce plan avec: son enveloppe. Trouver les lignes de courbure de cette surface enveloppe. (Bordeaux, novembre 1906).
186. Déterminer les lignes de courbure de la surface représentée par les équations :
æ —= Su + 3uv? — u?, y = Ju + Su?v — vi, z — Ju? — Jv?,
montrer que ce sont des cubiques situées dans des plans parallèles. à OX, ou OY. (Caen, novembre 1907).
187. Déterminer les lignes asymptotiques de la surface S, z — x?y. 2° Soit L l'intersection de la surface S avec le plan tangent en un point M{a, b, c). Calculer la courbure de L en un point quelconque, en fonction de l’ordonnée y de ce point. 3° Former l'équation différentielle des lignes de courbure de la surface S, et déterminer les cosinus directeurs des directions principales en ur point de l'axe ox. (Rennes, juillet 1909).
ho PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE 188. On donne la surface aa? + y? + 2?) + u(z? — y?) — ux — 0
où u est constant. On considère les droites À rencontrant les deux droites
DT EL UNE 0, et D RME ES ET ner er aux points À et B, dont on représente les coordonnées par Yi /2u et Lau
1° Une droite A rencontre la surface en un point; donner ses coordonnées en fonction de v et de w.
2° On considère la normalé en un point de la section par le plan DA. Calculer l'angle de cette normale avec le plan.
3° Quel résultat peut-on en déduire pour les sections par les plan DA, et de mème par les plans DA.
° Montrer que ces sections sont des circonférences. (Besançon, juillet 1909).
189. On donne une famille de courbes C, dépendant d'un paramètre v, tracées sur un cylindre de révolution de rayon r, d’axe oz. Ces courbes passent par le point À de rencontre de ox avec le cylindre, leurs équations sont :
Te=TLosL, saint, z — ry(u, v).
On porte sur la tangente en un point M’ d’une courbe C un segment M'M tel que arc AM + M'M — /, où l'est une constante donnée. Lorsque M’ décrit la courbe C, M décrit une développante de C ; lorsque C varie, cette développante D engendre une surface à.
1° Si les courbes GC sont des hélices, trouver les coordonnées d'un point quelconque de ?. Montrer que cette surface reste normale à M'M, trouver ses lignes de courbure, en déduire des générations simples de la surface.
2° Les courbes C étant quelconques, déduire des propriétés des développées que, pour que les développantes D soient lignes de courbure de la surface À, il faut, et il suffit, que la normale en M à
la surface fasse un angle constant avec la direction MM’. (Rennes, juillet 1907).
LIGNES ASYMPTOTIQUES {x
190. Trouver les projections sur le plan xoy des lignes de courbure du paraboloïde hyperbolique °
x — a(u + v), y = b(u — v) Ft QUt
Ja
c — Va? "ER,
(Poitiers, juillet 1903).
