On donne les équations
Te Me) RARE VE CU ee.
où v est une fonction du paramètre &. Déterminer la fonction v de: façon que la surface engendrée soit développable, et former les. équations de l'arête de rebroussement. 2° Calculer les cosinus. directeurs de la normale en un point de la surface, et les dérivées: partielles p, q, r, s, t de z; vérifier que l'équation différentielle des. surfaces développables est satisfaite ; 3° Déterminer les lignes de courbure etles rayons decourbureprincipaux. (Grenoble, nov.1910). 199. Une surface $ est définie par les équations :
LT — pPCOSW, Y —P sin &, &(z) — aw + f(P).
Déterminer la fonction » de façon que le triangle omn, ayant pour sommets l'origine o, et les traces rm» et n, sur xoy, de l’ordon-
née d'un point M de S et de la normale en M, ait une aire propor- tionnelle à l'ordonnée z ; 2° Former l'équation différentielle des lignes asymptotiques de S, et déterminer la fonction Jp) par la condition que S soit une surface développable ; 3° Former les équations des génératrices et montrer qu'elles font un angle constant avec 02, et sont à une distance constante de cet axe. (Grenoble, novembre 1910).
196. Un cône de révolution autour de OZ a pour sommet l'origine, ses génératrices font l'angle & avec OZ. Par un point fixe de OX on mène une droite formant l'anglez avec OX, dans le plan XOY; et, par cette droite, un plan P parallèle à OZ, qui coupe le cône suivant une courbe c. Former l'équation de la surface engendrée par la courbe c lorsque % varie ; montrer que cette surface est réglée, chercher les trajectoires orthogonales de ses génératrices reclilignes. (Caen, juillet 1917).
197. Trajectoires orthogonales des génératrices d’une surface réglée. Former leur équation différentielle dans le cas général ; et, en particulier, pour un hyperboloïde à une nappe. Intégrer pour l'hyperboloïde de révolution. (Marseille, juillet 1909).
198. On considère les courbes c dont la tangente a pour paramètres directeurs Zx, By: 7z. Ces courbes sont les solutions du système :
d&æ, dy dz TL ET
où &, (5, / sont constants. Démontrer que les courbes c sont les trajectoires orthogonales d’une famille à un paramètre de surfaces du second degré ; 2° Les courbes c qui rencontrent une courbe directrice D engendrent une surface S. Lorsque la directrice D est une droite, montrer que la surface S est réglée. Déterminer les droites D pour lesquelles la surface est développable. Déterminer les arêtes de rebroussement ; 3° Si la directrice D est une courbe, solution du système
der dat: dz
