On donne les deux paraboles

ro ME) Es pr et DENON CO Paye

Les droites qui s'appuyent sur ces courbes dépendent de deux paramètres. S1 on établit une relation convenable entres ces paramètres, elles engendrent une surface développable ; 1° Déterminer les surfaces ainsi obtenues ; 2° Il existe une de ces surfaces qui ne se réduit pas à un cône. Soit M un point de l’arête de rebroussement de cette surface S, P le point où le plan osculateur en M à cette arête de rebroussement coupe oz. Exprimer les coordonnées de M en fonction de la coordonnée z du point P, que l’on représentera par {; 3° Le plan osculateur en M coupe le plan xoÿ suivantune droite À ; exprimer, en fonction de {, les coordonnées du point où la droite A touche son enveloppe; 4° Que devient la surface développable S lorsque a — b. (Bordeaux, juillet, 1906).

203. Recherche de la ligne de striction d’une surface réglée dont les génératrices sont normales à une courbe donnée S. Cas des normales principales et des binormales. Si O0 est l'angle de la génératrice qui coupe la courbe S en M avec la normale principale MN, on exprimera la distance MN du point central de la génératrice à M en fonction de 0 et des coordonnées de M ; 2° Déterminer © de façon que la surface, lieu des normales considérées, soit développable. (Grenoble, juillet 1906, pratique).

204. L'arête de rebroussement de toute surface développable circonscrite à une sphère est une ligne géodésique d’un cône concentrique à la sphère. C'est aussi une courbe enveloppe, sur le cône, d'une droite tangente au cône et à la sphère concentrique. Démontrer ces théorèmes en répondant aux questions suivantes :

1° Déterminer, par le coeflicient angulaire m', la position limite de l'intersection du plan tangent à l'origine et du plan tangent voisin en un point satisfaisant à y — mx, la surface étant représentée par un développement en série entière :

z = ax? + 2bxy + cy? + …

2° Cas où la surface est développable ;

3° L'arète de rebroussement d’une surface développable circonscrite à une sphère de rayon R est une courbe c dont les tangentes touchent la sphère ; 4° Si l’on prend pour origine le centre de la sphère, la courbe c satisfait à l’équation différentielle

(ydz — dy)? + (cd — xdz)? + (xdy — ydx)? — R?(dx? + dy? + dr?)

ñ6 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE

5° Une ligne géodésique d'un cône de sommet o satisfait à la même équation différentielle, où R a une valeur convenablement Choisie ;

6° Conclusion. (Marseille, novembre 1903).

205. Une courbe c, située sur le paraboloïde z = æy, a pour projection, sur le plan xoy, un cercle de centre 0. On mène le plan tangent au paraboloïde au point M de la courbe c. Montrer que, lorsque M décrit la courbe c, ce plan forme avec 02 un angle constant. Trouver l'enveloppe de sa trace sur le plan x0y, l'arête de rebroussement de la surface développable qu'il enveloppe, et les développantes de cette arète de rebroussement. (Nancy, juil. 1903).

LEE AE 0 SN AE Et UMA — - f(0)

où r et ÿ sont des paramètres variables, déterminer une courbe telle qu'en chacun de ses points la génératrice coupe sous un angle constant. l’une des deux lignes de courbure. Déterminer la projection

L 1 HALLE A de cette courbe sur le plan xoy, dans le cas où 4 — G: (0) = a cos 7.

(Caen, juillet 1911).

207 Déterminer une surface vérifiant l'équation aux dérivées partielles

et passant par la courbe x — y, z — x°. Chercher les lignes asymptotiques de cette surface. (Besançon, novembre 1907). 208. Déterminer l'intégrale générale de l'équation :

ES [NS Ôz Ôz /

dd dy

Déterminer la surface intégrale qui passe par la parabole x — 0, y — 22. Déterminer ses lignes asymptotiques. (Toulouse, novembre 1903).