On considère l'expression

Ni n

+ y)dx + (x - + æ — 227 + 2yf'(2 — x))dy

où z est unc fonction des variables indépendantes x et y, et f'(z— x) la dérivée d’une fonction f donnée de la variable z — x.

1° Former et intégrer l'équation aux dérivées partielles que doit vérifier z pour que cette expression soit une différentielle exacte.

2° Déterminer l'intégrale de cette équation aux dérivées partielles qui, pour & = o, se réduit à y?; montrer qu'elle est indépendante de la fonction f; intégrer Ja différentielle obtenue, si z est cette fonction particulière. (Toulouse, novembre 1906).

273. Déterminer la fonction z des deux variables indépendantes x et y, de manière :

1° Que zdx + z?dy soit une différentielle exacte :

2° Que z se réduise à ÿx, pour y — 0. La fonction z étant déterminée, intégrer celte différéntielle. (Nancy, novembre 1905).

274. Deux surfaces S et S, se correspondent point par point de façon que les normales aux points correspondants (x, y, 2) (os Yos 20)

soient parallèles, et qu’on ait, entre les diflérentielles des coordonnées, les relations

de? + dy? + de? = de? + dy? + da dxdze, + dydy, + didz, = 0.

1° Montrer que z, regardé comme fonction de æ et y, vérifie une seule équation aux dérivées partielles du second ordre, qu'on formera, et dont on indiquera la signification géométrique.

2° Chercher si la surface S peut être de révolution, trouver sa méridienne. Déterminer la surface S, correspondante.

3° Montrer que les lignes de courbure de S correspondent aux lignes asymptotiques de S, et réciproquement. Trouver ces lignes. (Toulouse, juillet 1908).