On peut poser

'+pr+q À B (® D E (æ—1}(xæ+2}? (x—1) a (&æ— 1)? He te (æ + 2)? Fxra Sion multiplie par (x — 1}°,et si on pose x — 1, le second membre se réduit à À, qui est égal à la valeur de

RE nr AGE Pete (x + 2) 9 De même, en multipliant par (x + 2)°, et posant x — — 2,

On à :

D en Te, ÉL Sie

En chassant les dénominateurs, la première identité devient :

x? + pr + q — A(x? + 4e + 4) + B(a° + 32° — 4) + + Cat + 20 — 3x? — he + 4) + Dax? — 3x? + 3x — 1) + Eat — à — 3x? + 5x — 2).

En égalant les coeflicients des puissances de x dans les deux membres, et tenant compte de E — — C, on a :

C+E—o, BÆ3CED— 0, À + 3B — 3D — 1—…1 GA — 90 + 3D—p, 4A — 4B + 6C — D — g.

En remplaçant À et D par les valeurs déjà calculées, on trouve successivement :

où 1—AÀ p—2q +4 __ B+<D q—p BREST TR IS PR QE ETT Dee AE LA ATS Lee ren LG D ER RE | 2) Pa ASS Drag are cd (x + 2} Ft

et rt" qui

donneraient des logarithmes, disparaissent, c’est-à-dire si q = p.

le r l 5 4 e Q k T L'intégrale est algébrique si les termes =

On a alors :

perte le.

(æ — 1)(& +'2)}? 27 (x — 1} T—1 X+2) —}(— 1 + 2p se p — 4 2 — 2p — 3x ma ae = Dee ri ° fa? +p(e + 1)lde __[ 3— 9p — 3x ÿ LT rs cire er BARS CDD ep men ame À se 2{} 24 51 0n'a

__æ@? + Ga + 1)x + ga + 8 M N'Q — NQ' JEU (x: +6) (ar a); Wan Q?

Q—x+3, P— (ax + 1)(x +3),

Q étant du premier degré, N est une constante, N'— 0 ; et l’on a l'identité :

M(æ+ 3)—N(ax?-+1)—( +3) — 1 + Ba(ax + 3).

NL — +0), ON AN hi:

M(xz + 3) — ax? + 1 + (x + 3)? —1 + 3a(2x + 8) — (a +1)(x +3)? JO rer (ar)

frou- 3 He arc tg (x Va), De OÙ

ST AT ue à fou : PRE nt Mr

x + 3 AVS ANOREE LUE L'intégrale est algébriqüe si le terme #5", d di intégrale est algébrique si le terme — as 7 de f(x), dispa-

raît, ou conduit à une intégrale algébrique, ce qui a lieu dans les deux cas suivants :

ne dx 1 (æ +3}? x+3 0 + 6x +8, I ; RE 0, jh ÉRIC di (: mr ap)e = TA te

= est infinie, car, si x est voisin de zéro, elle

s. Fes

: dx —1 L He.

est de l’ordre sf na LUE reste pas fini. D'une façon

plus précise, sie > 0, on a:

nes af se) aies Va 2 Va

qui devient infini, si e — 0.

| Lette D'aute part, [” = </ PCTE .

70 PROBLÈMES D ANALVSE MATHÉMATIQUE

Si on pose æ — tg {, puis sin { — y, ona:

dx — = G— sin G— sin t) cos tdt — as Vi + x? le : re Ten LC

FULL GPL = mr FT 4 1 à Code (A ur Papin Et

da I CE PE Es Rare les 2 Te — atfi + 2) + et = pi V

Pour æ — , cette fonction a la même limite que

35 +1, ou 3e. Pour œ = 1 elle est égale à à (/2.

AMEN NET 70 V1 de HV 0 SO

5. Pour & — 1, à — \/2x — 1 devient nul, de sorte que le fac-

eur æ — 1 reste au dénominateur à une puissance inférieure à 1, et l'intégrale a une valeur finie.

En posant \/2ù — 1 — y, puisy — 1—22,0n a:

SR a. d J Ve = f N RE a ui rue Fe ydy V2 LEA) = jf. En OU ire va LEE DT 6 — \/2 nf (6: + ï EE z TÉTERn A ape + 7?) OS | PS RSS bn Je

LE a | 3 MC L(r +7) — 5 L(r — Z + 2) — 3 arc tg = |"

[e) AR Va) (EVA) ES 2 Va —1 = 6 + ER ya vs (ane DE are 1e)

On peut calculer la valeur numérique de l'intégrale, en la mettant sous la forme :

À ; rÿx br 3/à Ÿ PSE “ De Ch une 8 ae TRUE V3 [ (2 a)e AS ra [ dr.

Siz< 1, on pourrait développer suivant les puissances de z, ce qui conduit à séparer l'intégrale en deux parties. Si on pose

De; ON 0:

V 2 fe V2 LR |: 2NPS É ds à DIR RAT SU UT PRot mn , FA D EEE AN dz Mr | Fe VS TE x" ob ik er bar LR HER hdz V2 dz

I Ù I I , Adz 2dy &4 NTI | 2e jh hf (+ h es

1 I I I I ; Re 8(: MB Haillionn) 15.2 NE LÉTEL 12)

6 termes de la première série, et 8 de la seconde, suffisent pour

cette approximation.

6. IL faut a => 1, pour que I, soit fini, de façon que a — x ne s’annule pas entre æ = — 1 el + 1. On peut supposer a > I ;

car, en changeant x en — x, on a: | = FA. Cape TEE (1 — xp = — dx — (a — æ)"t:

se + 1 L — x?" = Gr US il a dr

le cas où a — 1 se ramène ainsi à celui où a > tr. Supposons donc a >> 1. Soit:

1 — x? dy __1—2ax + x?

2(a— x)" dx a(a— x}

cette dérivée s'annule, entre o et 1, pour x = b = a — \/a re pour cette valeur 1—b 1—a +aÿa —1:1 ST CRE RUN Tr ssl ET, Vent Lorsque æ varie de — 1 à b, y augmente de o à b. Si x varie de bà + 1, y diminue de b à o. Inversement, on a :

X? — 2XYÿ + 24Y — 1 — 0, = y EVy? — 207 + à.

Si y augmente de o à b, la valeur y + \/y? — say + 1 diminue de x à b. La valeur y — y? — ay +1 augmente de — 1 à b.

Tex: | HV = +i

y reste compris entre o et b; on a le signe — si b << x << 1, et le signe + si — 1 CL X < b.

b 2\n d TB: ne NT NES Du LEE Q 7 R = (27) VY? — 2aÿ + 1 AI ES) < # 2 dy b CRT A 2% OT 791 — Vy? es dm mn b AN LE re Nn dre d £; dy as fie) au, f (an) Vy? — 24ay +1