AR L

2f(2) = pe

(x se *t he p sin & > o. Ilen ne que zf(2) tend vers zéro, pour p = ; etque l'intégrale J. f(z)dz, sur un contour formé de l'axe réel, et

a un module inférieur à Ti ie car

d'une demi-circonférence de rayon infini, se réduit à

+ 0 e’i Fr de.

RTE) Elle est égale, d’après le théorème de Cauchy, au produit par 27 du résidu du seul pôle z — 1, intérieur à ce contour.

Soitz—=i1+t

e*i CRT UDE LOMME (: di = (+ É(ai+E) e(u)e al

TENTE US FPoosz+isine 7.

: 16e” ca (1 2?) se ; Teint À ; Il en résulte : G+aæÿ dx = o, ce qu'on peut démontrer —

en changeant & en — x, et :

® cos?r Ê cos?x ATO: —— de — ———— ss dr — k (1 + x?) + æ°) et (5e cos?x RP SET ES HS RES enr GTA TEE D ; se LU SEE TT RTE PE Soit J(z) — TE siz—pe", le module de

fe) fe De 1 + e2et COS u) — Sin v)) Z (1 R pe”)?

tend vers o, pour p—= ©, si 0 < & << 7, car alors ce module est ARE ; 29 \ inférieur à o3 = p: f(z)dz est donc nul, sur un demi-cercle de /

rayon infini silué au-dessus de l'axe réel.

+ œ 2ri L É Jp fr [e’+)

où R est le résidu du pôle z — 1, situé au-dessus de l’axe

réel.

QUADRATURES 81 Soitz—1i+it

Ne os + et) 1 He ?(r + oil + ie vu JC + ) — P(ai + 1) CU — ht? dur Lite e? + I 1 + 3e? , +8 ( ) DA Er IE ht

FPE cos 2x + à sin 2 UE AR RARE (1 + x°)° 2

et, en égalant les parties réelles :

“gi 2 + © 2 COR nl [cos 22 0 + e?

RAT TC = + RE RSR Te Do nee (TE a) Be®

17. Si on change a en — a, l'intégrale change de signe. Supposons a > o, et b > o. Considérons la fonction imaginaire 2} 1h? azi

JO Ve HNTEN LT qui a trois pôles : z = —Æ bi, et z — 0.

Prenons 1k f(z)dz sur un contour formé de l'axe réel entre

æ—=—pet— 2, un demi-cercle de rayon &, au-dessus de l’axe ‘réel, cet axe entre x — € et p, et un demi-cercle de rayon ? audessus de l’axe réel, pour revenir au point z = — 9. Sur le cercle

ut ns et 1) de rayon p, ona: ze

FT 20201 2 ; , 0°€ ; f(e)dz — il a GPA OS ET SR %dw, dont le module est

Hi pret} b?

plus petit que

+ 07 sine ARLON os ne b 3 !

Far pe € p du ef D? — b? AT E Sin tu) dw

; T Sin w . RE CURE 2 si 0 < 0 < = varie de 1 à =, sin w > = w. On a donc un S o T

module inférieur à

T 24 0° 5 2 0? + b? = x p? + b? de MER (ie RENE SR As (9)

qui tend vers zéro, pour 9 — ©.

Fasry. — Anal, — I (0

. pus À , 4 z — o est un pôle simple, de Lésidu — 1, pour f(z)s€ est-à-

dire que :

ZT

D ere Ones PRE ARE She

Nr, Re Z

7? Les b? edsi CT ;

: SL NO Sur le demi-cercle de rayon 6; entre —"œ et ++, OR

où® varie de 7 à O

oO .

frou=-[? — [aide += [ te — a | ce tidw +...

le premier terme est égal à ri, les autres tendent vers zéro, avec €.

On a donc

O0 0 2 2 pari Ah axi DD E ë æ e 4 VOLE RMITRERESEEEE ——— #5 dx — 27iR 4 DRE x +b æ — © () où R est le résidu du pôle simple z — bi, c'est-à-dire la valeur de 2? We b°? etii ï : 3 sa PRE ob? e— 16. F - Our me 0 Ÿ | 5 — uv® RAT FR A F : ob bi ©0 . (e +] € :

CIRE A. TT ac 22. bp? et ; — ——— 75 dx + — Plidx race = 1] = [ a? + b? «x : re DT ( ) d

eo < DE 9 eee

AL Die PAL: - x? — b? . dx CA DT 7 feari eat) —— — 21 pal sin ax — [ a? + L? \ ) æ > x? + b? a

: t 9 L2 « x? — b? sin ax 1 TROT dix = "%T e-Wn], XL LED 1h 2

iaz?

. e . 3 cr .