Soit f() = Biz == pe, 0 € u <,. SIP 20 > O

ap? (i cos 20 — sin 26)

QE ui af) EU $ 1 —- prehui

eo pre * p . r a un module inférieur à TRUE qui tend vers Zéro pour 0 — @.

p* Formons | f(z)dz sur un contour formé de l'axe réel, de x = 0

à 0, d'un quart de cercle de rayon p, allant de z = L'r A— OÙ et de l'axe oy, du point pi à o. Le seul pôle intérieur à ce contour est

QUADRATURES 83 Ti

le pôle simple z — e, dont le résidu est la valeur de ne

" PEER ILES 143 + I * fi ou de — ee — Az

Eds “x. À

AA == — - € 1e h  Sur le quart de cercle, l'intégrale tend vers zéro, pour p =. On a donc :

[e 2] NO . ‘+ .

f eair? __dæ 5 | e—aiy? idy DEEE Nid, ea I cr t ve Pete US Lo cn à 2 V2 PE Le air?

ns Le 4e at

; © cos ax? — sin ax?

(Géo 1! d O0

EH 2 V2 Res 2 2

COS ax? — sin ax T

19. Si == pevi, 0OZwLT,E=0<7F, la fonction Lez Lo + it ; à Lz reste uniforme. La fonction f(z) —

Qi + 2} a ün seul pôle au— , , . j Lz dessus de l’axe réel, z = 1. Formons sue

EEE dz sur un contour formé de l'axe réel, entre —

et — €, un detmi-cercle de rayon , l'axe réel entre + e et p, et un demi-cercle de rayon 5 au-dessus de l’axe réel. Sur ce demi-cercle, on a z — peio

J Lz &= [” Lo + ut

qui tend vers zéro, pour p — .

Sur le cercle de rayon pb —&€,ona

MOUES wl , “æ Es ce" id x (1 + 61%!)

84 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉM ATIQUE

dont le module est plus petit que

et tend aussi vers zéro, pour € — 0. On a donc :

[e] Lx + ri ot fe Lx fe ent UNE Re)

Ti où R est le résidu du pôle z —e? — 1. Il faut en eflet remarquer que, sur la partie négative de l’axe réel, z = erip, et Lz = Ti + Lo Ti

où p est variable. Soit z —1+t= a (DS)

Ti ù T2 ; +L(G—t)

LS Yet AE Lo “vise ne Ge (ie) ie +...) APR RE ENT TTat Ti — NA TUE NP PTT EN 81 179 32 + n'+121 e 8

RENE Tri #1 Tl — 2 FL

1 a+ 10 ST ET

En égalant les parties réelles, on a :

DER AENE à D RNTQUES DORA ET) ARE à

e ES l .