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,; I k x? dx 1 $ ë AT 29. s x? —{d ui est infinie si è J HSE à [ zx, qui e esp < O

axr—tdr s eh 1 p—1 | — — p>o, | re <[ æ?—1dx a F

D'autre part :

œ? œPr— 1 dx >> de — - xr-2dx 1x MR a

qui est infinie si p > 1.

Si :

cO A1 AA A —{ x?! Le) ns i peu f de < | FA RE ll SELS

æ?T 1 Il en résulte que I Ares = dæ a un sens, et une valeur finie, S0<p<1I; à 1 2° Si on pose & — =, ON à :

FE ce = dx = ie ele En 1 + ZX

3 Soit p = "——

tifs nm << n. En posant & — y”, on a :

, où met x sont deux nombres entiers posi-

2m1 F Jen PE : p any?" de OUR Nr — ———— dy.

0 1 = FORCE 1 ; ve Si on change y en — y, TE y LE change pas

Es "70 ve d f Tr d 118 1e 0 CU Mer D APR UE nt

+ co nr?" Te sta Mr D

ser 17 1 Pour calculer cette intégrale, on peut considérer

sur un contour formé de l’axe ox entre — R et + R, et d’un demicercle de rayon R.

Zr

Si 2mui ; z—i\hRe ” , Dante à 5 ? — RATE ; are € a 1: +27 I 2nwi R2* a expression qui tend vers zéro, pour R — ©, can —m>1, 2(m— n) + 1 < — 1. Il en résulte que l'intégrale sur le cercle

+ 2m 0 nx° y tend vers zéro, et que d 7 = mn dæ est égale à la somme des intégrales autour des pôles intérieurs au contour, ou au produit nz?n

TZ pour les pôles situés

par 27% de la somme des résidus de ——; ‘ : ; (2k +1) l au-dessus de l’axe réel. Ces pôles sont les points z— e DUO, 10, JL Ale

Pour l’un de ces pôles z,, le résidu est la valeur de n2°" 1 pr "702 ou de 2m 2m+1 FA = Fu = —— 1 gm+1 onz2{ 27? 2 f Ti om

(2k+1) — ; y (2k+1) Pour le pôle e ‘le résidu est — > e *" ,lasomme

des résidus des n pôles est

f am. am+] . 2M+-1 .

Re ee LUE 567 e + +... re = omi)ri om à: 7 ) — ] ne À Ti 1 RC Co LEFT UNT EP 2n PT ER TR Etam ar Pc D - Ti — ——— Ti eh ESS e 2? ES 2n e 1 1 10 + + Mo Jo 1 sin pr AUS TX 2n xb—t Tr : 2M —- 1 1 — =, sp 1 + sin pr? 2n

at + x : 1 4° L'intégrale fe PE dx est une fonction continue:

de p, si o < p < 1. En effet, soit

I p+s—1 —p—E£ J — —"*— de, ER me le ont) er, “Rs + x

ESC G ° ID UE ne : 1 — € 1—x restenégalif, x? HP est positif si p < HA

. . 1 Tr € ’ L4 négatif si p > re Pour toute valeur de x, entre o et 1, l’élé-

ment différentiel conserve le même signe, il en résulte que la

valeur absolue de J —— I est inférieure à celle de

1 1 (arte TPE — XP — x?) dx — a re ca dnes Ù ete pP+s 1—p—e

Mel PT v 1 w? 1 les poi—p (a pipe ph+</—

AN PET Let Mb PA PER + + Est pipe) pjû pe)

‘expression qui tend vers zéro avec €.

Si 0 < p < 1, on peut choisir un nombre n aussi grand que l'on voudra, 2np sera compris entre deux nombres impairs 2m — L et 2mn + 1

ÉD ans fu

On peut toujours choisir n assez grand pour que : <m<n— 1,

il suffit que : n > tn => afp}

Soit J — | œ

AN Wen.

L = -———— 1l+x SIN (p + e)x

[TN RTE RAS EPP | EE po pen , J 2 sin À cos “2 #

sin(p—e)r sinpr sin pr Sin (p + €)"

€ F8 1400 (P Et =}

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| — | L'AIR ATEN NE NI RENTRRRREEES Sin pr n pa—pli—p—i) n sin pr Sin (D + er

qui est aussi petit que l'on voudra, si n est assez grand. Il en T

résulte quel = =" sin pr