Si æ devient infini, l'intégrale est de l’ordre de

xt 1 El rh , a—1I

LA L LA d L2 LA LL qui reste finie si a <C 1. Pour a — , [S — L x devient infinie.

ati a-+-1:

qui reste finie pour æ = 0, si a + 1 >> 0. Il faut donc que a soit compris entre — 1 et 1, — 1 << a << 1. On a alors, en effet :

I 2 . 5 FD EE ds xt 1 fe I o (1 +x) Mer MORT IN. bed Jo M AT

O0 O0 sh A Ne [ ax ?dx — Dar he 2 MÉCLEEENDT Ji a — 1/1 1 — a

ii jortne 2 Jl (1 on ren

Siz= pe, o < w << 27, 4 — pte“*! reste bien déterminé. For-

Si & tend vers zéro, on a unc intégrale de l’ordre de % xtdx —

ons PR le mé ] blé mon G +2 z, Sur le même contour que le problème 21,

contour formé du cercle de rayon p décrit dans le sens positif, du cercle de rayon € dans le sens négatif, ces cercles étant réunis par deux droites infiniment voisines, coïncidant avec l’axe réel de £ à p. L'intégrale sur ce contour fermé, décrit dans le sens positif,

est égale à 271, multiplié par le résidu du seul pôle z — — 1 —e . ni (—r tri) — ei (r — ac +1) FU ee 1)+...) PAST AU Li l re ROUE AL) [UMA TETE (1 + 2)? er 2 ar ht Rene ae"

si z — pe", sur le cercle de rayon 5, On à

lez,

Si p devient infini, p®! tend vers zéro, us a <T 1, Si o tend vers zéro, pt! tend vers zéro, puisque a >> — 1. Les intégrales sur les deux cercles tendront vers zéro, pour £ — æ, et : — 0. On aura alors :

ART RTE GBA

AC +1)ui ARE

An © O ,2aTi med ange ar +) 5 de — — sarie ET G+ zx) g oo car, après avoir décrit le cercle de rayon p, on aura z — pe", et za — pag2aTi NT en DAT OU OU ZA) 0 MAR UT ' (1 ct 1) à 1 — et et p—AT sin at

27. Il faut que b ne soit pas compris entre o et 1, pour que le dénominaleur ne s’annule pas. Il faut, en outre, o < a 1. Car, si æ est voisin de 1, on a une intégrale de l’ordre de

1— x)" f LR RAR (Em PE f GENE qui reste finie si a <Z 1, mais deviendrait infinie, pour æ = 1, si re dx a >> 1, et aussi Si a —= 1, car } : ee 2m LUI — x) devient

94 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE infinie. Si æ est voisin de o, on a une intégrale de l'ordre de xt ‘ . o æt—idx = —, qui reste finie si a > o.

a Posons :

OA T de A by ri a — dy 2e b—i b—1+by" x—b (1+y)(b— 1 +by)

Comme on a b > 1, ou b 0, dans les deux cas

y variant de o à + ©, x variera deoù1

Der ie D

intégrale déjà calculée (problème 21)

æei(r — x) Al 4 sai: ce 2 T b Ya f b—x He el ETAT ST Dim =) -

SU Ps ae nul ——— mr .

2 (2 — Se — )Va(r —*) V:

re 28, S1/z — pe}, 0 Low & Tr, Le 2e” a une valeur bien déterminée. Formons | 2 D dz sur un contour formé de l'axe (2 + à) réel entre — p et — €, un demi-cercle de rayon € décrit dans le sens négatif, entre les points z = —- € et «, l'axe réel de + € à », et un demi-cercle de rayon p, dans le sens positif. Sur ce cercle ÿ : AS ‘ON à : pe H

; a + pervi te zoozqui tend vers zéro pour p —, et aussi

pour p — o. Sur la partie négative de l’axe réel, on aura z — pe‘, ï I :

seouse

2%— b°e$. On a donc :

os FA AIRE AUDE. 3 — x°e* de x° dx : JL, Fa 7 (ee PP} à Qi

DEN “A rl ra on Ch ‘ Fa : de:

ROMANE NOUADRATURES” | | 9.

R étant le résidu du pôle z — ai, qui est intérieur au contour d'in-

3 Ti tégration, sia > 0. Soitz:—a+t— ae” (: 12 a)

2° Ds ae AD (22 + a)? Po + 1}? (: HUE à 5 j Mimet 3,6 se AE a € IE pme de )(—— +...) = 5 ri MN LE RS ON) EVANS 21 dr LU Ve (aan) 8 mw Do es à pre are e 09 8 pis 3 LE 23dx Pa + Or ef ner ra e TUE Ces d Ts UT VS À ses 6a cos &