CHAPITRE Il

Surfaces et volumes. — 29. Soit { —tg 0, æ — cos 26,

T : ï Te Ve cos 20. Pour 0 —7, L=7) ee 0. Si 0 varie de z a 3° © Va-

rie de o à — 1, y de o à — ©, B est dans l’angle x'oy'. Si on change 0 en — 0, y change de signe, A est sur la branche symétrique dans l’angle æ'oy. La courbe est une strophoïde, une droite passant par o la coupe en un seul point, autre que le point double 0.

L’aire comprise entre l'axe ox, l'arc oA de courbe, et Fordonnée

de À est :

RAR [e) 1 ïÉ ydx = — f 2 tg 0 cos 20 sin 20d0 — T /X

Le À ele [ 2cos20{1— 005200 | "(1 — 2 cos 20 + cos 46 \d0 — (4 x

Le

T. , LR te, Ta TR RME

Ne L'aire comprise entre la corde oAÀ, l’axe ox, et l'ordonnée de A est, puisque x est négatif :

Ty Mer I sin 2% d — Ra Lo à COS?224 — — — to a PRECOS SAN 2 d'A 1 1 1 A sin 4% am rs oœ —— À x ga —+- Sin 2 à

L'aire S,, comprise entre la corde oA et l'arc o A, est la différence de ces deux aires, ou :

ST +a— 1" (tg a+ sin 22).

Poe

INTÉGRALES MULTIPLES. SURFACES-VOLUMES 97 L'aire S,, comprise entre la corde OB et l’arc OB, est donnée par [e) la même formule ; mais, dans l'intégrale J ydæ, y serait négatif T

et donnerait l’aire changée de signe. On a donc

S——;—$+ 1 + > (tg B + sin af) il est facile de vérifier que, si 7 PS = SLT OÙ L'aire du triangle ayant pour côtés les droites OA, AB, BO, de sommets A(x, y) et B(x', y’), est égale à

(xy' — yx') — . cos 24 cos 28 (tg 8 — tg x) >> o.

En retranchant $, + $,, on a l’aire limitée par la droite AB, et les deux arcs OA, OB :

S— = (188—tg «) (cos 22% cos 28 —-1) + —a— > (sin 28— sin 24) —

— $— a+ sin (8 — a) (cos (mn me —— =).