On a l’ellipse Di My

On peut poser :

x = ÿ3 cos t, ÿ=1+ sin, OZ 7.

La droite y — x coupe l’ellipse aux points déterminés par l'équation :

1 + sin té — ÿ3 cos é

1 — cos" 4 — (V3 cos ! — 1})?, 4 cos? t — 23 cos t — 0 à 4 A; sl cos { — 0, Sin", LT, GS Yi 0 : V3 j 1 T 3 sl CH er smi—:, =; SU ES

En transportant l'origine au point (0, 1) centre de l’ellipse, on a l'ellipse :

X — V3 cos t, M ÿ 1 = sinif; Fasry, — Anal, — I 7

98 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE qui peut être considérée comme la projection du cercle

X — V3 cos t, Y — ÿ3 sin 4,

, , I l'angle des deux plans ayant pour cosinus 75° La corde donnée

est la projection de la corde du cercle qui passe par les points

et — — le plus petit arc qui correspond à cette corde

2T pre su Pt Sera CS ET EL Cette corde divise le cercle dans le rapport B

puisque les aires sont proportionnelles à leurs projections. L’aire du cercle est 37. L’aire comprise entre l'arc de cercle et la corde, si l’angle au centre est 2%, serait :

R?(4 — sin à cos à)

comme R— 43, & — 3, cetie aire est r —2VS a. 3 V3 AT E ür—3vs pie 3V3 8r + 3V3 HN DL DOI DENY AU, d& “a+vVa—y a. V Ke a?

dy % PA NS tnt Y PR.

æ —= aLy + ya? — E—y —a(f +VE—i)+e

En choisissant l’origine, nous supposerons c — — aLa

On aura toute la courbe en changeant le signe de Va? — y?,eten

faisant varier y de — a à + a.

Si 0 < y < a, l'expression (1) donne

dx __a + Va — y?

= == 0) y y cr

æ augmente de — © à o ; ce qui donne la branche AB, asymptote à l'axe des & (fig. 2). En B la tangente a pour coefficient angu-

laire 1. Si on change y en — y, on a la branche symétrique par rapport à ox. En changeant le signe du radical, on a

(2) gai QT 3 dx a — Wu y?

dy J'

Si yaugmente de o à a, x augmentedea(— 1+L2)——0,307a

Fre. 2

à o. De — à à o on aura une partie symétrique ; ce qui donne la

courbe BB’.

À une valeur de y correspondent deux valeurs de x, (1) et (2),

dont la différence est

— 2 Wa? — y? + oaL

a + Va? — y?

L'aire comprise entre les trois branches de courbe ABB'A' est :

En intégrant par partie, on a :

2 toner.

Le VE y

EE nv Den — y 8 + LT Ty fs Va? — y? ET à

a à Var — y? dy.

ie a [°° COMORES ef (1 + cos 2t)dt — ra°.