Sur la surface 2° — x? — y?, on a zdz — dx — ydy

Soit y — à Sin f,

ua

Le plan tangent forme avec le plan xoy un angle ”,

cos = S 4 Vi + p? + q°

une aire do a pour projection dxdy = dc cos ‘y, et l'aire de la surface est donnée par l'intégrale double

a as re rnes DPS NUe affa ffvr + q? dxdy — | x? + y? ji 2x?

intégrale prise à l’intérieur de la courbe représentée, en coordonnées polaires, par 6? — a? sin 2w. Mais, pour avoir des points réels du

cône, il faut y* < x°?, 0 Lo < + On a donc :

2 COS? w AVE ; — dodo COS“ W — sin“ w' ‘

a V/sin 26) Î ed2 — a? sin w cos w O

T LRU au ha? SIN & COS" & V3 tg «w dos re D L1 ps ATES TE En TP A o Vcos?w — sin? w o (1-+tg2w)?4/1 —tg?w Cos* 0

Est va [| td o (1+P) Vi 8

el, en posant : tg? & = {= 1 — 2u°

OÙ Oo <L p << a f/sin 2w, OC AD

A AL (a+ LG + Va)

33. L'aire à calculer est symétrique par rapport aux plans xoy

Tr

et «oz ; elle est limitée par la courbe :

Y— 20) A ap — 2), o<r<pe

Le trièdre des parties positives des axes comprend le quart de la surface du cylindre à évaluer.

Sur la parabole, base du cylindre, y* — 2px, on a :

YAY par, ds = Vdx? + dy? — VE “+ £ dx.

L'aire comprise entre deux génératrices infiniment voisines du cylindre, la base ds et la courbe

AT IBINET = \/apE — x) es :

zds — VAE +È) pe b? — ) dx 2 2 L’aire totale à calculer est :

pe Fa au | /(e+2) (Eu —s)a Posons :

pb? — 2x

fyte+9 (BU 2) de = — (084 8 f snt cost dt — 2 / \o 2

= (pe 9,2 | COS4f— 1 b + 1\? , /sin 4t