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2T dw 2T dw vers | Er D On D OU Det nn — ET Q cos © | 1—e+ (1e) te ©] 2 2

2 y\ \27 2pTrA?

ne Se aBldi arc tg (ES gt) = Vi — € one Pau le Vi — e?

car tg = varie de o à +2 puis de — © à o ; arc tg (\/

varie deoà-etàr.

49. Le paraboloïde passe par les axes ox et oz. Les quatre génératrices, qui limitent l'aire, ont pour équations :

Elles se coupent aux points O, A{1,0,0), B(x, L 2), G(0,0,2),

le quadrilatère OABC se projette sur le plan xoz suivant le rectangle de sommets C, O, A et B'(x1, 2) projection de B, dont les côtés sur les axes sont x = 1, z = 2. On a le volume

V— [fra $ [far

le point (x, z) étant intérieur au rectangle, on a

v=rf cs | zdz —=

2° Si, U, Us, U, SOnt nuls pour { — 0, la surface

x = (1 + w)z + (1 + w), y = (2 + us)z + E(1 + u;) contient l’axe oz, qui correspond à { — o. Sur cette surface, on a :

de — {1 + u)dz = otfr + u)sdt + (1 + w)dt + (Pu!z + tu;')dt dy — t{o + u)dz = [(2 + us)z + tuyz + ot(i + u,) + Pu,'ldt.

En éliminant d{, et en supposant { —0o,on a

Le plan tangent au point (0, o, z) a pour équation Ni lazX) Le plan tangent en un point du paraboloïde a pour équation ZIK +0»

ou x(Z — 2) + zAX — x) — K(Y — y)

en un point (0, 0, z) de oz, cette équation devient Re NT Les deux surfaces ont même plan tangent en tout point de OZ, si LE Dans ce cas, V — 2.

5o. On a le volume

v=|# Var — x? — y? drdy

OÙ 2? + y? L'a,x > 0, y > 0. Et, en coordonnées polaires :

v= [fr —; Sin w COS wp ds du

ou 0LP< a, 0<w<-

= . I . 2 I ?sin & cos & dw — — (sin?) "— = 2 oO 2

a I LIRE D — — | Var -- 6? pdo ef

et, en posant p — a sin {

Tr os TU EU -& (2 a . a .

V— — | “cos’t sin*tdt — — | (cos?t — cost) sin tdt — 2 [e) 2 0 T Pia rcos"! COS RUN FA VAED NE ORNES 156

— V Hs as DV ra VX — If ædxdy de = [f# Va? — x? — y? dx dy — ge = a Va? — pi pe sin & cos wdw — ra À ot Va? — — 5ido de VAE IE dæ dy dz — Eva — ap [° sin?w COS ww — af pa — pds 22h zdx dy &= [f= œo= || Fe Re (a2— x? —y?)dx dy — LAN HS qT se = fe Hs

= pS\a sine 1 — COS 4 } Modus aa*\ 6 HE A = 3x 5 2 MORE VE Te

En posant 5 — a sin {, on a :

Die

sin?uCos?wdw is

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