x a É sin 4{ sin ) TGS
Le volume étant symétrique par rapport au plan y = x, on pourrait prévoir que X — Y.
Intégrales multiples. — Dr. Si y est constant, æ varie de o à V1 — y?
fers à } (it — a — y):
V1 — 73 sets I % il CNIL A PES LEERPEE O
Cr +
et l'intégrale double devient :
I CAL Posons y — 4, CRE
Soit - — Jus 6%, dt —— 3640, (1 — tjdt — — Pt
en intégrant par parties, on a :
+ yRs 2 — 1 -— 0* 2 0°d8 lo 1» TELLE éa+op 3) Q+wp En ne (EL et me MALE) D AANREENSE
Re en DA FES A Le Pi tu dû (a+ 0 0/03 er NUL 55107) es Dre der Ne RU NE 18), 140 I + 1 Li 6 — 2 2 = > SAS Fac 2: Tu dd RL TE AU LES 04 1] He 41/0 AE © 2300 00) = RCE A LOUE ER PAT) 1— 0 + 0? 18 V3 Fe TE ),
— —3;5—= (arc {go — arct PE 2 18 V3 ( 8 SN Pare Va — 0,0671777.
INTÉGRALES MULTIPLES. SURFACES-VOLUMES 123 b2. La surface est un tore, engendré par le cercle (x — a} + 2? — b?
tournant autour de oz. Sur cette surface, on a :
dx — — (a + b cos 0) sin © de — b sin 0 cos + dû dy = (a + b cos 0) cos © de — b sin 8 sin + d6 dz — bcos 0 dô
dæ, — sin ®, — sin 0 cos &
dy, cos ®, — sin 0 sins | — 0
dz, O0; 2 #e0s.f
cos © cos 0 dx + sin © cos 0 dy + sin 0 dz — o. La normale a pour équations
And Y— y Z—z
cos © cos Ü sin © cos 8 sin 0
Si on prend l'intégrale de surface, sur la surface extérieure, soit dc l'élément de surface sur le tore, on aura :
dædy — sin 0 ds, dydz — cos y cos 0 ds, dzdx — sin # cos 9 ds
1 ff aupae +ydzdx +2 deb | [ (æcos®cos0 +ysinvcos0 +zsin6)ds
= [fx a + b cos Ô) c060 -baint tds | (a cos + jar
Mais, le tore étant symétrique par rapport au plan xoÿ, sion change Ÿ en x + 0, cos 0 change de signe, et do ne change pas.
ETES 10 ff à
ç étant l’aire totale du tore, que l’on peut calculer en prenant la partie correspondant à z > 0, sinÿ > 0
16 ff où OST ET A, O<LYP<Ÿ2T
sin 0 ?
le déterminant différentiel
Ôx Ôx
ÿo 00 — siny, —sin0cose ï — {a + b cos 0)b Lu : ?
ôy dy cos ©, — sin D sin &
ôœ Ôÿ
—= (a + b cos 0)b sin 8 T far :
== a [ s (a + b cos 0)d0 de — hrb?( ao + b sin 0) — {r?ab?.
1 da Al dx 1 + ÿ CO ar Us (y + 1) cos? — + (1 — y) sin? ©
Pr VER LE = ets ( Re T 2 dx «is 2 I — y ASE lHYCOST Vi — y 8 1 +7’ S1 4, En
Posons 1—Y 1 —t@ lt ALES Vi rit, AR our bne Lo te 0 — Ta à ER Vie ° ee ul Vi Ut a OR
; r: 1 —= — it = & — > (arc cos a)? — r 2
n ? e Tr .
ces arcs élant compris entre o et. On a aussi, en changeant
(rx — arc sin a) arc sin a
ais
l'ordre des intégrations :
pi + 'UYODR RS ‘à Pa L(1+acosx) AL YCOST+I se TS cos æ M Tr?
— ; (arc cos a)°.
STa88 hate
LA Là . 4 1 à ] :
L'intégrale double a un sens bien déterminé, puisque ycost +1
reste fini, et inférieur à 1, ce qui justifie l’interversion de l'ordre d'intégration.
. 1 r ,. , SU 7» pour calculer la valeur numérique de l'intégrale, on
peut former les séries :
MAR LANDE TES UE D US POP EC TUE EU RS UE ant Anh rat TE 2.4... (an — 2) a?" (arc sin a)? — a RAC Ve EU an Ep 2 VERS 1 s D arCSN >= > +75 + + —7% +... —0,252680 CE NN CONS TA RENE RS ENS 1 s. 1 arcsn-| = +3 s + +. — 0,06384 ( i) RUSSES A NSS AT 7 5 Li + cos x) S UT e ; ; de —Taresin } —} (arosin }) — 0,36/498.
É cos æ 2 At o 4
54. Le point (x, y) doit être intérieur à la première parabole et extérieur à la seconde, qui n'ont aucun point commun. Il doit être intérieur à la troisième parabole, et extérieur à la quatrième. Il faut ainsi :
AO MIRE RTE VUS At À; À — 4x < y} < 9 — 6x.
Les sommets du quadrilatère curviligne sont les 4 points
A(o, 2), B(2, va). Ci, va),
(fig. 3). Si on pose
MU AU, Mi — AU,
; ; ; D'x, le déterminant différentiel est D »)
Dans l'intégrale double il faut remplacer dxdy par 4(u? + v?)dudv, les inégalités entre x et y deviennent :
uv >> 0, (au? + 1) (au? — 1) > 0, (u?+1)(1—v) > 0, (u? —1) (+1) >o, (ou? — 3) (av? + 3) Lo.
Si on changeait u et.u en — u et — v, x et y ne changeraïient pas. On peut donc supposer u > 0, v > o et l’on aura :
1 3 = U 1 PA I U Er rh ce < <\/° Comme Va? + y? = u? + v?,
l'intégrale double devient
te À FE DRE Mere (1 + u? — v°)?
entre les limites précédentes. On a alors :
Î | udu jus — 1 FT Re V1 + u? — v?
et l'intégrale double devient :
V2 à ON Va 4(V6 20 V5. V0) 0201.
55. L'ellipsoïde étant symétrique par rapport aux plans de coordonnées, en changeant x en — x, on voit que
FF arderé = 0. TETE de même [f Frsdrdra = 0, et :
= [ff ee+ dy + 6rdrdyde= [ff (iet+ av -+36edrdyd. Ca
Si on fait le changement de variables
x = 3p sin 8 cos +, y = 2? sin 0 sine, 2== pions 0,
l'équation de l’ellipsoïde devient p — r. On a tous les points intérieurs en supposant
DR TE A OR DS ar PO E Q <CCT.
Le déterminant différentiel
D 3 sin 0 cos y, 2 sin Üsinv, cos Ô RES — | Jpcospcos?, 2pcossine, —psin0 | — 6? sin @ a) — 3>sin0sine, 22sin 0 cosv, Oo
l'élément de volume
dx dy dz — 6p? sin 8.d>düde
Ce ruar T , Le 3622.62? sin 6 d>d0d— 6% zar PAPER [e) [e) (e) 9 O 6)
