ily )\ 2/y J
équation qui devient identique avec l’équation (A) si d’où
l'on peut déduire cette construction : inscrivez dans la couronne des cercls i\ et r, une longueur MN égale au plus petit rayon r, ; construisez sur celte ligue les deux triangle^ équilatéraux MIN , MI'N , et le côté du triangle équilatéral cherché sera représenté par 01 ou 01 '.
On peut déduire de l’équation (A) une valeur facile à construire ou à calculer en nombres. En effet , après avoir isolé le radical , et élevé les deux membres au carré , on trouve , toute réduction faite ,
diéveloppant et ordonnant par rapport à « , on a l’équation finale (»•.’+ r.*4- r.<-f r* — r,^
d’où l'on lire x —
Cette valeur , facile à calculer en nombres , peut se construire aussi facilement, en la mettant sous la forme qni suit: x=.
On se souviendra qu’une expression de la forme — représente le carré dont M est la diagonale, comme 3K^ est le carré du côté du triangle équilatéral inscrit au cercle dont le rayon est K.
Si , au lieu de considérer l’angle A et son correspondant A', on considérait l’angle B ei son correspondant B', on aurait
CM ABC = CO, (OBC + OBA ) =
cos A’B'C'= CO. OBO - OB'At=(îit;^îi) et par conséquent l’équation du problème serait
rx^-\-r,^ -
équation qui ne diffère de l’équation précédente (A) qu’en ce que r, y remplace r,. Il est facile de voir que si dans la couronne des cercles r, et r, on inscrit une longueur égale à r,, et si sur celte ligne on construit deux triangles équilatéraux, les deux valeurs de X seront égales, comme précédemment , aux distances du centre commun aux sommets intérieur et extérieur de ces triangles.
D’aillenrs le changement de r, en r, dans la valeur de x ne chan-
géant pas cette valeur, fonction 'symétrique des rayons r , , r. et la valeur de x tirée de l’équation (A') sera la même que l’expression (C).
En6n , si l’on considère l’angle C et son correspondant c*, on obtiendra une équation analogue aux équations (A) et (A'), et l’on en conclura sans peine , comme ci-dessus , que , si dans la couronne des cercles r, et r, on inscrit une longuehr égale à les deux valeurs de X seront les distances du centre aux sommets intérieur et extérieur des triangles équilatéraux construits sur cette longueur. Ces trois valeurs de x étant égales, on en déduit ce théorème :
Trois circonférences concentriques étant données , si l’on inscrit dans la couronne formée par deux d’entre elles une longueur égale au rayon de la troisième , et que sur chacune des trois longueurs ainsi inscrites on construise deux triangles équilatéraux, les trois sommets intérieurs et ex- ' térieurs se trouveront sur deux circonférences concentriques entre elles et aux trois circonférences données.
S8. Étant donné , un cercle O, et un point D sur le diamètre AC, faire passer par ce point D un cercle X tel , que , si de l’extrémité C du diamètre on lui mène une tangente CTB, la partie BT soit égale à AD ( (ig. 15 }.
Soit X le centre du cercle cherché sur le diamètre AC. Si AO=r et OD = , on aura
AD — CD = r — d -,
et enfin , si l’on représente par p le rayon inconnu DX , on aura
AX {t — |- cT) -(- P , ex (î* — </) — P , CY (t", — d) 2p.
Le problème étant supposé résolu , et CTB la tangente demandée, les lignes AB et TX seront évidemment parallèles, et par conséquent CT ; BT = AD ; CX ; AX ;
or CT = kCD . CY = (/'(r- rf) [(r — rf) — 2p ] :
remplaçant donc les quatre termes de la proportion précédente par leurs valeurs , on trouvera
t^(r — d) [(r— d) — 2p] : (r-f-rf) : [(r — </)— p] ! p] ,
d’où l’on déduit , après avoir élevé au carré ,
[ (r— d) ~pf = [(H- «0+p]^ [(»•— df— 2p (r— d) ].
Si l'on effectue les calculs indiqués , on trouvera , toute réduction
Jaile , l’équation 'ordonnée par rapport à p d’où eiiGn
,=- [^+;r+.0]± 1/ [;^-KM-«] +(-+'0('- *•
Cette valeur se construit facilement ainsi qu'il suit :
Soient pris, sur le diamètre, CF=OD = rf, et sur DI, perpendiculaire à AC , DG = OD = ; si l’on mène CG et sa parallèle FH ,
TV, T ‘ rd , '
on aura DH= ,, ' ' ’
rd
et par conséquent , si DE = DH , AE c= ^ (r -j- <Z).
Or DI = (r-j-d) (r — d): donc AK représente le radical. Les deux valeurs de p sont par conséquent KL et KM ; si l’on porte ces deux longueurs l’une à droite , l’autre à gauclie du point D , les points X et X' seront leg centres dçs cercles demandés. '
On discutera sans peine cette double valeur de p, et l’on trouvera qu’elle se réduit à une seule lorsque dc=±;rp^2 , auquel cas p:=r. Passé cette limite , le problème est impossible.
Lorsque = 0 , la valeur de p est la différence ou la somme de la diagonale et du côté du carré construit sur r.
20. Étant donné un demi-cercle AB , et une perpendiculaire CD en un point donné C du diamètre , on décrit sur AC et CB deux demi-circonférences ; trouver l’expression des rayons des cercles X et T , tangents k la fois à la grande demi-circonférence , à la perpendiculaire et k la demi-circonférence décrite sur le segment correspondant ( fîg. 16).
1° Pour le cercle X , soit
OC = rf, 0P = «, XP = p, XT=p, et OB = R , 0'C = r , O'C = r>. ^
La condition de tangence entre la circonférence X et la grande demi-circonférence sera OX = OT — TX , ou p. • ( 1 )
On exprimera de même que X et O' sont tangents, par la condition >
Or, .
Q,X— 1/ XP2-f-0'F= ^ XP^-KOO'— >
donc
Enfin,’ si le cercle X et la droite CD sont tangents ,
X< = pi '
et comme X/ = CP = OP — OC = a — rf , la troisième équation de condition sera ,i\
' Les éqüâïions (1) , (2) et (8) , serviront à déterminer « , |3 et p. • A cause de l’équation (3) , l’équation (2) devient
' Kir— py +
d’où - P^ — Urp.
Substituant pour a sa valeur tirée de (3), et la valeur de p dans l’équation <1) , on trouve.
; (p + dj^ hrp = (R — p)* ; et à causé de OC = rf = R — 2r,
et, toute téduCtldn faite , ^p = > jj" »
ou en fonètion de rf , ‘ ' p — — ‘ ' ’
2* Pour le cercle Y, soit
OP' = «', YP:.tt=^', YT' = p'.
On verra de même que les conditions de tangence de ce cercle avec le ceircle donné, avec le Cercle du segment et avec la perpendiculaire , seront exprimées par les trois équations,
-rs R p' ,
d’où l’on tire par élimination
On remarquera que ces deux valeurs de p et p' sont égales ; en effet de ce que 2r* 4- 2r = 2R , on a, pour la valeur de r», r'= R — rj et la valeur de p' devient, comme la précédente,
Donc les deux cercles (an^'enls sont également éloignés du centre <îu grand cercle donné.
Il sera d’ailleurs très facile en construisant la quatrième proportionnelle , qui représente la valeur du rayon , de déterminer la position des centres des cercles cherchés.
On discutera facilement les divers cas particuliers du problème.
On trouvera, entre autres choses, que, si la perpendiculaire passe par le centre du cercle donné, les cercles tangents auront chacun pour rayon le quart du rayon du grand cercle (lig. 17); par conséquent la somme des quatre circonférences inscrites sera égale à la circonférence donnée , et la somme des surfaces au quart de la surface du grand cercle, ou à la surface du cercle décrit sur le rayon de ce cercle comme diamètre.
39. Etant donnée dans un cercle O une corde DD’ perpendiculaire sur le diamètre AB , déterminer le centre et le rayon des cercles tangents à ’ la fois au cercle donné, au diamètre et h la corde (Cg. 18).
On voit d’abord qu’il y a quatre cercles, symétriques deux à deux, qui répondent à la question; en ne considérant que le demi-cercle supérieur, si l’on désigne par R le rayon du cercle donné , par d la distance OC , par a la distance au centre du point où le cercle ' demandé touche le diamètre , par p la hauteur à laquelle il touche la corde donnée; et, enfin, par o le rayon inconnu, les deux solutions du problème seront exprimées par l’ensemble des trois équations
d’où l’on tire par une élimination facile
0 = - (JR±(D±: I/2R (R±rf) ; ' ,
et , séparant les valeurs ,
pour le segment de droite, p zz: ±: l/’2R (R -|- rf) — (R + 'O !
pour celui de gauche , P, =z ±. t/2R (R — d) — (Il — d).
En ne prenant que le signe supérieur du radical, chacune de ces valeurs représente la différence de la corde au segment non éorrespondant; ce qui fournit la solution du problème particulier dont il s’agit : .4D — AC pour p, , et pour p^ BD — BC.
I.e signe moins correspond à un énonce plus général , dans lequel on considère le diamètre et la corde comme deux lignes indé-
finies perpendiculaires entre elles, dont une seule passe par le centre du cercle donné ; alors les valeurs
P. = -(|/2R (R + rf)+R + rf),
P.= -(t/2R(R-J) + R- d), représentent la somme de la corde et du se^ent , et les cercles touchent extérieurement la grande circonféren ce.
Si d = 0 (fig. 19.), les cercles sont égaux , et le problème est ramené à inscrire un cercle dans chacun des triangles XOY.
31.. Déteminerles côtés d’un triangle connaissant les angles et la surface.
Soient A, B, C, les angles du triangle, s sa surface; a. A, c, les côtés opposés. D’après la formule connue de la surface du triangle, on a
ai sin C := 2« ;
— ^ on trouve pour la Valeur de a sin B A
et comme
