Le produit des équations (1), (2) et (3) donne

abc

sir

sin A sin B sin G ’ mais , R désignant le rayon du cercle circonscrit (Legendre, liv. ni, prop. XXXII) , on aura

abc = « . AR ,

d’où

V Rir

sin A sin B sin G’

et « 2R^ sin A sin B sin G ; (M)

formule qui fera connaître la surface lorsqu’on connaîtra les angles et le rayon du cercle circonscrit.'

5S. Si L’on fait la somme tics mêmes équations , on trouvera successivement

r i / sin'A~ ; ' \ / ^sin f! .1 / sin’C 1

^ siuBsinC , ^ sipAsinC”' sinAsinB .J’

|~sin A -|- sin B -|- sin C~ ] '

* L p^stn A sin B siii G' J ^

or, d’après la même proposition , ' . . .. <i. jr. i ; , •

« — (a -1- i + c) — , r étant le rayon du cercle inscrit :

, fsin A sin B + sin C] r

donc « = K 2* . 1 / • - T t" 9

, sut A sin B sin G J ^

|/ 2sin A sjn B stn C

= [sin A -f- sin B -j- sin C] ,

et , par suite de la valeur précédente de s,

« = (sin A -j- sin B + sin C) Br. ' ” (N)

,36,. , En divisaatpl) ipar (N), on trouve ce résultat asjsqji .pur,ieux R sin A -}- sin B + sin C ’ > -’ oi d . u

2 sin A sin B sin C

c’est-à-dire que

Dans lout tri.angle , le rapport du rayon du cercle circonscrit h celui du cercle inscrit est égal au rapport de la somme des sinus des angles au double de leur produit.

On peut vérifier celte formule en en faisant l’application à un triangle quelconque, au triangle «qu(latéral pour plus de facilité :

danscecas,A=B=C=:

— ^ etsinA 2 =sinB=;sin G=sin— — 3 • A

priori.

, d’où il résulte R = 2r, ce qu’il est facile de reconnaître à

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