DEUXIÈME SECTION
THÉORÈME
' 57. Dans un cercle quelconque, la somme des carrés des segments formés par deux cordes perpendiculaires est constante et égale au carré du diamètre.
En quelque lieu que soit le point de section des cordes , si on les prend pour axes des coordonnées, l’équation du cercle sera
(or — a?-\- {y — bŸ ~ R* , (1)
a cl b étant les coordonnées du centre et R le rayon.
Les deux segments formés par la première corde, prise pour axe des X, se trouvent en faisant dans l’équation du cercle , ce qui donne
De même , en faisant or = 0 pour obtenir la valeur des segments formés par la deuxième corde prise pour axe de y ,' on trouve
et , faisant le carré de chaque valeur, puis ajoutant, on obtient S.2 + S.2 + S,2 + S, 2 = 4R2 = D2.
Ce résultat , étant indépendant des coordonnées a et & du centre , fait voir qu’il en sera de même de tout autre système de deux cordes perpendiculaires , en quelque point du cercle qu’elles se coupent.
THÉORÈME
58. Si l’on mène une sécante quelconque k deux circonférences concentriques , les deux parties comprises dans la couronne sont égales.
En effet , si dans l’équation précédente (1) on fait y = 0 , on trouve l’équation du second degré
ar2 2<M?-f o2 + i2 R2 0, (2)
dans laquelle le coefGcient du second terme , pris en signe con-
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traire , représente la somme algébrique des deux racines , c'est-àdire des distances des points de rencontre de l’axe des a? et du cercle à l’origine des coordonnées.
S,et«, désignant la sécante entière et sa partie extérieure, on aura S. + *. = 2a.
Ce résultat, indépendant de R, montre que pour un autre cercle, ayayit même centre que le premier , on aurait de môme
S, et désignant la sécante entière et sa partie extérieure pour ce nouveau cercle. i . • < >
Si l’on retranche maintenant ces deux égalités, on aura
c’est-à-dire que les parties comprises dans la couronne sont égales.
Ce résultat, indépendant des coordonnées du centre, exprime qu’il est le même pour toute ligne prise pour axe des x ou desy , '
quelle que soit d’ailleurs l’origine des axes. • *
, THÉORÈME
59. Si d’un point donné, extérieur ou intérieur à un cercle, on mène une sécante quelconque , le produit des deux segments form& sur elle par la circonférence est constant. '
Le dernier termé de l’équation (2) étant le produit des racines , on aura , en se servant des mêmes notations ,
Ce résultat ne dépend que de la distance de l’origine des axes au centre du cercle. Si donc l’on suppose que les axes rectangulaires tournent autour de leur point d’intersection immobile , on obliïndrait pour une autre direction quelconque de l’axe des x et des y
et en général " S« = cP — R^.
Il est évident que , si le point était intérieur , on aurait S# = R2-<P,
abstraction faite du signe — , qui indique un changement de direction des segments.
Le résultat trouvé précédemment
Si = (<P— R=*) ou S* = R2— <P, ne change pas si d est constant ; ce qui fait voir que si du centre du cercle donné et d’un rayon égal à d on décrit une circonférence.
tous les points de cette circonférence seront tels , que les deux seg = ments de toutes les sécantes menées par ces points formeront un produit constant.
40. Si la sécante ne rencontre le cercle qu’en un seul point, les
deux segments étant égaux , et t désignant la longueur de la tangente , on aurait S — sz=t et — — r^,
d’où <2 j ^ ^ .
d’où il suit que la tangente, le rayon et la distance du centre au point d’où la tangente est menée, forment un triangle rectangle, dont la distance est l’hypoihénuse; donc la tangente est perpendiculaire à l’extrémité du rayon. De là la méthode iconnue pour mener par un point donné une tangente à un cercle donné.
ün observera de même que , pour tous les points situés à une distance d du centre , toutes les tangentes sont égales.
Il sera de plus très facile de déterminer le lieu géométrique des points tels, que la tangente menée de chacun d’eux ait une longueur donnée. Ce lieuüst un cercle concentrique au premier,- ayant pour rayon l’hypothénuse d’un triangle rectangle dont le rayon donné et la longueur de la tangente sont les deux autres côtés.
41. Déterminer les conditions de tangence d’une ligne droite et d’un cercle.
Soient ÿ=:Aa?-|-B, (1)
(ar — = R2, (2)
les équations les plus générales du cercle et de la ligne droite, dans lesquelles on indiquc|par les mêmes coordonnées que ces lignes ont au moins un point commun. On cherchera les coordonnées de ces points communs , et l’on exprimera que ces points communs se réunissent en un seul. L’équation finale offrira la relation qui doit exister entre les constantes A, B, a, b, R, pour que la ligne droite et le cercle soient tangents.
Substituant la valeur de y (1) dans l’équation (2), on trouvera , après avoir ordonné par rapport à x ,
x'i (1 + A2) — 2 [a - A (B - A)] ar = 11^ — [a^ -|- CB — ,
a-A(B-ô) ^ KB^(l-hA^)-[Ag-f(B-Z.^ 1-fA^ “ l-fA^
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, B+A(AH-a) ± R" (1 + A^) — FAg-f-fB — 8l1^
1+A2 l^IÂS •
Telles sont en général les valeurs des coordonnées des deux points de rencontre de la ligne droite et du cercle’ Ces deux valeurs ne seront réduites à une seule que dans le cas où le radical sera nul : donc
R2(14-A2)— [Aa + (B— i)]2 = 0 (T)
sera l’équation finale qui doit exprimer les conditions de tangence. On en tire d’abord
U H Aa -f(B — h)
, où l’on reconnaît l’expression de la perpendiculaire abaissée du point (a, b') sur la ligne dont l’équation est
y Aa? :
donc la tangente est perpendiculaire à l’extrémité du rayon.
43 .. On parvient au même résultat par la 4pnsidéralion suivante. L’abeisse du point de tangence, après avoir annulé le radical, est
et son ordonnée , qu’on obtient en substituant cette valeur dans l’équation (1) ,
désignant par a?^, y„ les coordonnées du point de tangence, on trouve facilement
Xi — a~
A[Ao + (B-8)] 1 + A^
I [Aa ( B — i)]
d’où
iv=— r ~ “ 1 = î
où l’on reconnaît encore que la tangente est perpendiculaire au rayon : car 1 équation de ce rayon , passant par le centre (a, b) et le point de tangence ( a?. , y. ) , serait évidemment
Xt — a
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et la tangente de l’angle que ce rayon fait avec la ligne prise pour axe des j; est , '
xV — « ’
et par conséquent la relation 1-j- AÂ' = 0 est satisfaite.
45. Si donc l’on suppose le cercle déterminé de grandeur et de position, c’est-à-dire a, i et R donnés, l’équation de condition (T) ne contiendra plus qu’une indéterminée B.
On peut déterminer B en assujettissant la droite à certaines conditions, par exemple de passer par un point donné (a, p). Ces coordonnées devant satisfaire à la relation
y = Aj7 B ,
on aura p = A« -j- B , d’où B = p — A«.
Substituant cette valeur dans l’équatiou (T), on trouve R2(1 4 A2)[A(a-„)-(é-p)p=0, h — A (a — a)
ou
développant et ordonnant,
.42 [R2 — {a — uf] 4- 2A (a — «) (A
et enfin A^ — 2
Celte équation indique qu’il y a deux tangentes qu’on peut mener d’un point donné à un cercle donné , et elle résoud facilement le problème qui suit :
44. Trouver le lieu géométrique des points tels , qu'en menant de chacun d’eux les deux tangentes à un cercle donné , ces tangentes soient perpe'ndiculaires entre elles.
Eu effet, A,, A, désignant les deux racines de l’équation A, et représentant les tangentes des angles que tes langenles au cercle fout avec l’axe des X, d’après l’énoncé on doit avoir
le dernier terme étant égal au produit des racines , cette équation de condition devient
d’où
(A - fy (n
équation d’un cercle concentrique au cercle donné , et ayant pouf rayon la diagonale du carré construit sur le rayon du cercle donné.
43. On a donc plusieurs manières de déterminer la tangente, soit au moyen des points de tangence , soit en fonction des coordonnées du point donné , du centre et du rayon du cercle donné t En fonction des points de tangence, car la tangente a pour équation
•P I CL m
et les coordonnées ar, , y, , seront déterminées par les équations
(ar, — a) ,
(yt — b)
{y.-bf + {x,-ay=,W-,
mais , sans effectuer l’élimination , on voit que la première de ces deux dernières peut se mettre sous la forme
équation d’un cercle dont le centre est au milieu de la ligne qui joint le centre du cercle donné au point donné, et le rayon la moitié de cette distance. L’intersection de ce cercle et du cercle donné déterminera les points de tangence.
En fonction des données de la question , car l’équation de la tangente ' y — P = A (a? — «)
sera complètement déterminée quand on aura résolu l’équation (A) , fonction des coordonnées a, A; «, p, et du rayon R.
46 . Si l’on suppose l’origine des axes située au centre du cercle donné , o = 0, A=0 , l’équation (A) deviendra
— R2 ' a"— R2 et si de plus S =: 0 , celle-ci se changera en
d’où , ,
et l’on conclut que les deux tangentes font des angles égaux avec la ligne qui joint le point donné avec le centre ; ou , plus généralement, le lieu des centres des cercles [tangents à deux droites don-
nées, est la ligne qui divise leur angle en deux parties égales. Ce résultat fait voir encore que la tangente est perpendiculaire à l’extrémité du rayon , et fournit la même construction géométrique que .précédemment.
