En résumé , l’équation la plus générale de la tangente

lorsque l’origine est au centre du cercle donné , devient

y - P = - - (x — «) , ÿt

les coordonnées or, , étant données par l’ensemble des équations

ou y, — P = — — ‘ (a>, — a) ,

y.î + ar 2 = R2 ;

ou bien encore , réduisant la première de chacun des deux couples d’équations au moyen de la seconde ,

(P — *) (yi —*) + (« — a) (^‘ —a)=R^, (yt-i)^-i-(ar.-a)^=RS et Pyi duTi = R* ,

Chacune des deux premières équations représente la corde des points de contact , sia:^ et y, sont considérées comme les cordonnées courantes de la droite ; ou la tangente elle-même , si p et a sont les coordonnées courantes.

Les cordes de contact sont perpendiculaires à la ligne qui joint le point donné au centre du cercle.

D’après ce qui précède on résoudra facilement le problème suivant :

48. Étant données deux circonférences concentriques de tous les points P de l’intérieure , on mène les tangentes IP(’ , et par tous les points ( et C les tangentes à la circonférence extérieure M( , (M’ : trouver le lieu géométrique des points de rencontre M de ces tangentes (fig. 20).

Soient -j- , (A)

y2-far^ = RS (B)

les équations des cercles donnés , l’origine des axes étant placée à leur centre. ,

La tangente tPf aura pour équation

yq-\-xp=t^, (1)

yetx étant les coordonnées courantes de cette ligne considérée

comme corde de l’autre circonférence.

D’un autre côté cette corde , par rapport aux tangentes /M, i'M, aura pour équation

Ces deux équations devant donner les mêmes valeurs pour x et y, si on les résout par rapport à y et qu’on égale les coefficients , on trouvera

d’où

r! —II!

Eliminant enfin entre les trois équations (A), (3) et (4), les indéterminées et y , on trouve

équation d’uu cercle concentrique aux cercles donnés , et dont le rayon est une troisième propurlionnelle à leurs rayons , qu’on pourra construire comme il suit :

Mener la tangente RS parallèle à l'axe des ar , et le point I , où ' les tangentes RI et SI se rencontrent, déterminera le rayon cherché 01 : en effet, le triangle rectangle OIS donne

OS^ = OH X 01 , d’où 01 = — •

49. Trouver l’expression analylicjue de la corde comprise dans le cercle.

Ou a trouvé précédemment pour valeurs des coordonnées des

points de rencontre d’un cercle et d’une sécante, dont les équations les plus generales sont (a: - o)=> + fy - = R2 , y - ^ g "

^ — (B — 5)A-±(XR2fi-|AVf- |A/.-|-rp . f,\ÿ>