A" ~TT

y ~ B + A(AA + o) ± A (1 + A=‘') - i A«--f-Yh nru

- «Memmea, p„„r

îpnes"'’X^;"‘^H’ correspondantes aux

gnes -f- et dans les valeurs générales de x et de y.

Or, X —X = — fAffi-l-rK— A'iV \

y, — V = jA A^(i+A^j — r aV- 4- rti - 1 511 2

^^Efëvantau carré et substituant, on trouvera, toute réduction

~ ï> — [Aa+ (B — A)] 2. .

Si l’on substitue pour B sa valeur fl — a sé^n^ passe par L p„i„. t

80. Lorsque C a uue valeur donnée, l’équaliou développée A> s - to-.)(i-S) k - fl

"ée Eu erre, V„ f ^S»'" “ »"« 'onsuenr den-

En erre. , en la eomparan. à |•éq„a,ion (A) des .an'enKs

A2 g(«^^«KA^ (i-j3)2-R2

onreconnatlsans peine que les sécantes qui jouissent de la propriété demandée doivent être tangentes au cercle dont le rayon est et concentrique au premier, c’est-à-dire décrit avec un rayon égal à la perpendiculaire abaissée du centre sur une corde égale à C : de là la construction connue.

81 Trouver sur la ligne qui joint les centres de deux cercles donnés un • tpl nu’en menant par ce point une sécante commune aux deux

longueur donnée.

D’après la valeur générale

nn voit flue pour un second cercle dont les coordonnées du cent™ eelen. i', e> le reyon R', la corde inureeplée par la

même sécante sera

C' = ± i-?==5 KR'"vi+Â";-[A(»'— «) — (A'- P)] *•

Si l’on place l’origine des axes au centre du premie r cercle , Taxe dl /pa»a« A le centre d„ second, eltfaUlcnrs le potn. cherché devant se trouver sur cet axe , on aura a = 0 , 4 = 0 , 4 ’= 0 , p = 0 ;

enfin, si l’on désigne par 2Ha longueur donnée . on trouvera facilement les valeurs ^

Égalant ces valeurs , et , pour abréger, posant

OD aura ^

d’où l’on tire

(d = a' désignant la distance des centres).

De là cette construction : Cherchez sur la 4igne des centres les deux points tels , que leurs distances à chacun des centres soient entre elles comme les longueurs h clh' , et par ces points menez à l’un des cercles une sécante telle, que la corde interceptée soit d’une longueur 2 C : la corde interceptée dans l’autre cercle sera de la même longueur.

Mener une tangente commune à deux cercles.

Il est évident que la sécante sera tangente à la fois aux deux cercles dont les rayons sont A et h'. En général, si l’on suppose 2/ =3 0 , on trouvera

Donc, pour mener la tangente commune à deux cercles , cherchez sur la ligne qui joint les centres les deux points tels, que le rapport de leurs distances à chacun des centres soit le même que celui des rayons , et par ces points menez les deux tangentes à l’un des cercles : elles seront aussi tangentes à l’autre.

Cette construction est très facile. Menez (lig. 21) un rayon quelconque 01 et le diamètre parallèle l'O'I' ; joignez II', II* : les points T, et T, sont les points cherchés. Le point intérieur correspond au signe -|- ; ces points ont reçu le nom de centre» de »imilitude des cercles , parce que les rayons vecteurs menés de ces points aux circonférences sont proportionnels aux rayons.

Si le second cercle était situé d’une manière quelconque dans le plan, a' et J' étant les coordonnées du centre, il serait facile de déterminer les coordonnées des centres de similitude. En effet, les coordonnées n’étant autre chose que les projections sur les axes d’une longueur déterminée rf , si l’on désigne par v l’inclinaison de la ligne des centres sur l’axe des ar, on aura

x = p^-grfcosr,

mais puisque la ligne des centres passe par l’origine, et par le point

dont les coordonnées sont a', b', on aura

d’où

Sin » = yz=

par conséquent

S5. On a trouvé précédemment pour la corde des points de contact des deux tangentes menées par le point « , au cercle ^ l’équation

fy -f- ax = r^.

Si l’on remplace a par ^ a' , p par ^ A' , et r par R , on aura

équation de la corde de contact des points de tangence déterminés pai' la tangente commune sur le cercle, dont le centre est à l’origine.

Si i' = 0 , xz= — i -,

Pour la corde de contact d’un second cercle , dont l’équation est on a de même trouvé l’équation

a et P étant les coordonnées du point d’où les deux tangentes sont menées. Remplaçant j3 et « par leurs valeurs, on obtient toute réduction faite ,

b< (y y) 4- a' (x - a') = q: R' (R' ± R) , corde de contact de la tangente commune sur le second cercle.