En général , les centres de similitude de deux cercles

Çx-A.y + (y-B.7=R.S

(ar-A^ + (y-BJ2=R.^

oni pour coordonnées

ft = 4, + (A.-A,)j^-j-,

En effet (fig. 22) , pour l’abscisse du centre de similitude c , on a

cFc = OD = OP -j” 01 — OP -j- OC cos v= k,-\- d ^ ^ cos v,

rf=oo'= (/ (A. - k,Ÿ + (B,

Mais de ce que tang v = , on conclnt

cos V — — = = ■ — ^

(/1+tang^i, I / (B-jB.j^ J/(A A,)^+(B.-B/ A-A. ^

et par conséquent a?e = A,-j- (A.— A,) ■+.' p •

On aurait de même

y, = CD = 0P+ IC = B.+ OC sin » = B.-f d

ÉT

et à cause de

tang» A— A.

Sin»= , > ■ -* j=r = 7 - ■ ' ■

I/l}tang2» I ^ (B -b;/

K(â;=âj+(b1b.)^

yc — B, -f- (B. — B,)

THÉORÈME

88. 1® Les trois centres de similitude extérieurs de trois cercles situés d’une manière quelconque dans un plan sont en ligne droite , deux intérieurs et le troisième extérieur ; 2» les lignes qui joignent le centre de cl» a-

que cercle , et le centre de similitude extérieur des deux autres , se coupent en un même point.

En général, les coordonnées des centres de similitude de trois cercles quelconques

auront pour expression

a?,= A, + (A 3 — AJ J. j rj ,

(Fig. 23.) Si l’on place l’origine des axes au centre du premier cercle , l’axe des x passant par le centre du second , les équations précédentes des cercles seront , à cause de

A. = 0, B. = 0, B. = 0, A. = rf, A, = a, B3=i, ar* + y^ = R.S {x - df + f {x - a^V ~ h? =V i

et les coordonnées des centres de similitude

Or, l’équation de la ligne qui passe par les points {x., y, ) ,

donne, pour y = c , la valeur de l’abscisse du point où elle coupe

l’axe des x ,

— gjy.

Vb - y.

Si l’on substitue pour a?,, y, ; ar, , y, leurs valeurs , on iroftvera successivement

• ^ïï;±r; - ^ ïïj + (« - rf)

Cette ligne droite passe donc par le centre extérieur ou par le centre intérieur , le signe — correspondant aux signes semblables des valeurs des deux autres centres de similitude , et le signe -(- aux signes dissemblables. Si, des trois cercles donnés, deux étaient égaux , la valeur de Xq deviendrait infinie pour R, =: R,. Lor'squ’on prend le signe — dans le dénominateur , on voit que la ligne des centres de similitude extérieurs est parallèle à la ligne des centres des cercles égaux.

3» Les lignes qui joignent le centre de chaque cercle et le centre de similitude intérieur des deux autres ont pour équations

bR.

d-\- (fl — d)