ST+X
On verra par le calcul que ces trois droites ont deux à deux les mêmes points d’intersection.
86. Étant donnés deux cercles , trouver le lieu géométrique des points tels que , menant par chacun d'eux une tangente à chacun des cercles , ces tangentes soient égales .entre elles.
L’origine des axes étant placée au centre du premier cercle, les équations de pes cercles seront
+ ( 1 ) (ar' 0)2 (ÿ' — A)2 = R'2. (2)
Si le point M (fig. 24) est un des points cliei cliés, on aura l’équation — kV— |/(„ — aj2 + (S — A)2 — R'2.
Elévant au carré et réduisant , il vient
■ — 2oa — 2iÇ -f- o2 -J- — R'2 -J- R2 — 0
et
équation d’une ligne droite perpendiculaire ü» la ligne des centres. Pour déterminer sa position , on supposera le centre du second cercle sur l’axe des x : alors 0, et l'équation devient
^ Mais on a trouvé précédemment pour les équations des cordes de contact formées par la tangente commune, les axes étant disposés de la même manière (fig. 25) ,
R(RrhR')
d’où il suit que
le lieu géométrique cherché est donc une ligne droite parallèle aux cordes de contact , et à égale dislance de l’une et de l’autre. Il sera donc facile de la construire.
On a donné à cette ligne le nom de dUhamologue , parce qu’elle
correspond à la fois aux cordes de contact des tangentes communes menées, soit du centre de similitude intérieur, soit de l’extérieur.
On la nomme aussi quelquefois l’axe radical , et le point où elle rencontre la ligne des centres , centre radical.
Lorsque les cercles se coupent , la dishomologuc se confond avec la corde d’intersection ; ce que l’on reconnaît facilement en combinant les équations (1) et (2), après avoir fait x—x', y — y'. L’équation finale est la même que l’équation (3) , dans laquelle les coordonnées a , @ sont remplacées par x et y.
En général, si l’on combine les équations (1) et (2), en supposant qu’elles s’accordent, on obtiendra l’équation delà dishomologue.
THÉORÈME
S7. Les trois dishomologues des trois cercles donnés se coupent en nn même point.
En effet , d’après la remarque précédente , si les cercles ont pour équations
celles des dishomologues seront , pour les cercles R, , R, ; R., R, ;
Rj, Rj :
-2(A.-A,)y-2(a,-fl>-l-(a'24-A.2 -R.^) - (û3H-V-Rs")=«»
- 2(A.-A3)y-2(a.-a,)^-K(a.2+A/-R.^)-(a,^+*s^- Rs^= «• Si l’on fait pour abréger
les équations des dishomologues deviendront '
2 (A, — Aj y -}- 2 (a, — oj X 4 t — k,^ — 0 , (1)
2 (A. — Aj) y -j- 2 — Oj) a; 4" k,^ — = 0 , (2)
2 (A. — A,) y -}- 2 (a, — Oj) ar 4- A,2 — *3^ — 0 : (S")
~ Uh ~
or on sait que , si trois droites
"}" ^3^ “t~ Cj = 0 ,
se coupent en un même point , on doit avoir entre les constantes de leurs équations la relation
c. (A.B3 - B.A3) + C. (A3B. - B3A.) - C, (A.B. - B.Ap = 0 ;
si l’on substitue dans le premier membre de cette équation les valeurs
A.= 2(i,-iJ, B, = 2(a,-aJ, C, = k?-k,\
A.= 2 (h, — *3) , B, =: 2 (a. — flj) , C. = k,^ — *3*,
A3 = 2(A.— Aj), Bj=2(a. — a^), C^ — k^ — k^^,
on trouvera que tous les termes s’entredétruisent , et par conséquent que la relation est satisfaite. Nous laissons au lecteur le soin de faire ces calculs , qui u’offrent aucune difÜculté.
On peut d’ailleurs reconnaître à la seule inspection des équations (1), (2), (3), que chacune d’elles comporte les deux autres : il s’en suit donc encore que ces trois lignes droites concourent en un même point.
Ce résultat fournit un autre moyen bien simple de construire la dishomologue de deux cercles donnés O , O' (lig. 26). En effet , si l’on coupe à la fois les deux cercles par un troisième cercle quelconque 0*, le point de concours des trois dishomologues sera le même que celui des cordes d’intersection CD , C'D', de chacun des cercles donnés par le cercle auxiliaire : si de ce point M on abaisse MM' perpendiculaire à la ligne des centres , celte perpendiculaire sera la dishomologue.
Remarque» tur te» corde» d» contact et le» dUhomologne».
On a vu que pour deux cercles dont les équations sont
les cordes de contact sur les deux cerles ont pour expression __R,(R.±R.) a^rFR.(R,±R.
— us —
et la dishomologue
Si le second cercle se réduit à un point , c’est-à-dire si R, = 0, la corde de contact du premier cercle devient^
et la dishomologue
Rï®+ „
toutes deux sont perpendiculaires à la ligne qui joint le point donné et le centre du cercle , et la dishomologue passe par le milieu de la distance entre le pied de la corde de contact etje point.
La corde de contact sur le second cercle se réduit à a?, = a , et se confond avec la perpendiculaire élevée au point donné sur la ligne qui joint le centre.
Si le second cercle devient une ligne droite, c’est-à-dire si R. = 00 , en résoMIlnt l’équation (2), on trouve
x-a±.yV.,^-y^ = a±\ [/î - ;
et à cause de R, = 00 , ' a? = a±:R,
X exprime la distance de l’origine à la droite , laquelle se confond avec l’uqf|ret l’autre des tangentes perpendiculaires à la ligne dés centres : donc d=.a±. R, , d’où a = ( d q: R, ) ; dans cette hypothèse la corde de contact sur le premier cercle aura pour expression
B.(R.±R.)p (îii-O dq:R. ‘ '
et à cause de R.= Qo , af, = q:R.; t
les cordes de contact deviennent les tangentes au cercle parallèleâ à la ligne donnée.
Quant à la dishomologue , son expression devient (d RJ2 -f R 2 - R.2 q: 2dR.-f R.=*
2(dq:R.) ““ 2(d=pR.) ’
et se réduit à a ==:d, c’esl-à-dire qu’elle se confond avec la droite elle-même.
Il en est de même de la deuxième corde de contact.
69. D’un point'donné Mon mène k un cercle donné O des couples de sécantes MAB , MCD , et l’on joint directement ou réciproquement les points d’intersection par des droites AGI , BDI , ou AHD, BHC : trouver le lieu géométrique des points 1 oti H (fig. 27).
* Soit
l’équation du cercle , l’origine au centre.
Les droites MAB, MCD, menées du point donné M ( a, 6), auront pour équations
a', étant les coordonnées inconnues du point I ou H , les équation des droites de jonction AGI et BDi , on AHD et BHC , seront de la forme
Pour obtenir une équation indépendante de x, y, A, A', B, B' , si l’on multiplie entre elles les équations (2) et les équations (5) , on aura
(y 6)2 - (A 4- A') fy - 6) (x — «) 4- AA' (X - «)2 = 0 , (y— 60^— (B -j- B') ry — eO (x— AA'(x — a')2=0;
ajoutant entre elles ces deux nouvelles équations, après avoir posé, pour abréger ,
. A-j-A'=2R, AA' = S,
B-j-B' = 2R', BB' = S'; et divisant tous les termes du résultat par 2, il vient
-(e+e’-f aR-f«’R')y (6R -f. 6'R' -f aS -f-a'.S')x 1 = 0. 4- 62 -f 6'2 -j- 2«eR -f- 2S'e'R' -}- g2 s -f g'2 » [
Dùi-.JV
i by G( ■■■ 11
Cette équation devant donner pour x et y les mêmes valeurs que l’équation (1), et étant du même degré qu’elle, il faut nécessairement qu’elle lui soit parfaitement identique. Égalant donc entre eux les coefficients des puissances semblables des mêmes inconnues, on trouvera pour équations de condition
(6+e')-|-aR-f-a'R' = 0, (C) -
êR -f e'R' -|- «s 4- a'S' = 0 , {d)
qui sont en nombre suffisant pour qu’on puisse éliminer entre elles les indéterminées R, R', S, S'.
Si l’on substitue dans les trois dernières équations les valeurs de R' et S' tirées des deux premières , il viendra
L’équation (c’) donne R = — , ce qui change les deux
autres en
A cause de
cette dernière équation prend la forme
4“ (« — a')2 (a 4“ a') s 4“ 2ot'2 -|- 2r2 = O ;
et remplaçant S par sa valeur
(« — «')* S =; (g 4- g') (g — g') — 2 [a' (a — a')] , ' on trouvera d’abord
(g2 4 6'2) („ „/) (g 4- g') [(« 4- «0 (e - g') 4- (« - «') (e 4- gO] -f- (a 4“ «') [(<5 4" ^') (a — «')]
et successivement, à cause des réductions , -
(gs + g»2) (a „I) — (g + g')2 (a — «') — 2a' (a — «»)(« + a')
(g2 -j- 6'2) — (g -{- gi)2 — 2a' (a -j- a') -f- 2 (a'^ = 0 ;
d’où en6n
gg' 4- aa' — r* = 0, (P)
équation d’une ligne droite perpendiculaire à la droite qui joint le point donné avec le centre du cercle donné.
60. Si le point donné ( a, g ) est extérieur au cercle , l’équation P représente, comme on l’a vu, la corde de contact des tangentes menées au cercle par ce point. Cette remarque fournit le moyen de mener les deux tangentes au cercle sans se servir du compas. En effet , par le point donné M on mènera une couple de sécantes quelconques MAB, MOD ; on joindra les points de section^ directement ou réciproquement, par les cordes BDI , AGI, ou BHC , AHD, et la ligne IT'HT déterminera les points de contact T etT'j il n’y aura pins qu’à mener les tangentes MT , MT'.
61. Si l’on suppose que chaque couple de sécantes se confonde . en une seule MAB , les cordes de jonction diverse deviendront les tangentes BI , AI (6g. 28 et 29 ) , et l’on en conclura le théorème suivant :
THÉORÈME
Si d’un point extérieur ou intérieur on mène des sécantes , et , par les deux points de rencontre de chacune avec le cercle des tangentes à ce cercle , ces couples de tangentes se couperont sur une même ligne droite perpendiculaire k la ligne qui joint le point donné au centre du cercle.
Si le point est extérieur, la droite est intérieure, et n’est autre chose que la corde de contact prolongée.
Si le point est intérieur , la droite est extérieure, et se construit facilement : on mènera la corde -TMT' perpendiculaire à OM ; le point de rencontre !„ des tangentes TI. , T'I. , déterminera la droite cherchée HH' , perpendiculaire à OMI. (6g. 29).
THÉORÈME
G&. Si de tous les points d’une ligne droite on mène des couples de tangentes à un cercle , les cordes de contact se couperont toutes en un même point.
Ce théorème , réciproque du précédent , n’est qu’un cas particulier de celui qui suit. ^
Si dans l’équation finale (P) on fait = 0 , on trouve «' =;
Ce résultat , étant indépendant de |S , démontre que,
si de tous les points M, d’une droite GG' on mène des couples de sécantes M, A, B, , M'.A'.B',, et qu’on tire les cordes de jonction directe et réciproque, A, A', , B, B', , et A’, B, , A, B,' , les droites Ijl'j se couperont toutes eu un même point P ,
Qui a reçu le nom de pôle de la droite (fig. 30), parce que les droites IJ,', qui s’y coupent, semblent tourner autour de lui. La droite GG' s’appelle polaire.
63. Lorsque la ligne GG' est intérieure (fig. 31), les droites I.P, se coupent an pôle extérieur P ; de là :
THÉORÈME
Si tant de quadrilatères qu’on voudra, inscrits au même cercle , ont un côté commun , les droites qui joignent le point d’intersection des diagonales et le point de concours des côtés adjacents au côté commun concourent toutes au pôle du côté commun.
Les théorèmes suivants ne sont que des corollaires de ce qui précède :
THÉORÈME
D’un point quelconque donné on mène des sécantes en nombre quelconque à un cercle , on joint directement et réciproquement les points d’intersection des sécantes et du cercle; des deux points d’intersection de chaque sécante on mène les tangentes ; tous les points de rencontre des cordes de jonction directe, réciproque et des tangentes, se trouvent sur la polaire du point donné (6g. 32 et 33).
THÉORÈME
Dans tout quadrilatère inscrit, les côtés opposés et les tangentes menées par les extrémités des diagonales se coupent sur la polaire du point de rencontre des diagonales (fig. 34).
Ce théorème n’est qu’un cas particulier du théorème général qui précède, lorsqu’on suppose le peint intérieur.
Rimarqun sur Ut pôles et les pelosres.
