D’après ce qui vient d’élre démontré ci-dessns
Le centre du cercle et le pôle sont toujours sur la même ligné perpendiculaire à la polaire, et le rayon est moyen proportionnel entre les distances au centre de la polaire et du pôle. La corde de contact des deux tangentes au cercle est la polaire du point d'où elles sont menées.
THÉORÈME
La droite qui joint deux pôles est la polaire du point d’intersection de leurs polaires.
^ (“i > Pi) > (“. les coordonnées des pôles , et r le rayon
du cercle , les coordonnées du point d’intersection des polaires seront déterminées par leurs équations
d’où l’on déduit
et par conséquent
ce qui prouve que la droite qui joint le centre et le point d’intersection est perpendiculaire à celle qui Joint les deux pôles.
D’ailleurs
d’où
à la droite des pâles ,
exprimant la distance du centre origine
0& voit que le rayon est moyen proportionnel entre les distances du centre à la droite et au point : donc , etc.
Il est facile de conclure de là les théorèmes suivants :
THÉORÈME
Les polaires d’un nombre quelconque de pôles en ligue droite concounnt en un même point.
THÉORÈME
Si tous les pôles sont sur des droites également distantes du centre , tous les points de concours des polaires seront sur une circonférence concentrique à la première , et dont le rayon est une troistèine proportionuelle au rayon du cercle donné et à la distance constante des droites au cenU-e.
tl5. Trouver la plus courte et la plus grande distance d’un point à la circonférence d’un cercle, et déterminer les conditions de tangence de deux cercles.
Soit — 1) l’équation du cercle douné ; (a, h) et {x, y) '
étant les coordonnées du point douné (iig. 35) et d’un point quelconque M de la cireonférence , la distance de ces deux points aura pour expression
(ar — o)2 4- (y — b)^ = d?. (2)
L’élimination directe entre ces deux équations donnera pour y (g^4-y4-r^ — <f) — 2aar
et substituant cette valeur dans l’équation (1) , il viendra
A*)»2 - 4o(o2-f A2| d^)x-=kb-r^^ (aî+ 4*+ r»— ;
d’où , toutes rédactions faites ,
o(a2+i2 j^ -d?)± r"— {a^+P-\^~æy
Si d était déterminé , cette valeur de x serait celle des abscisses des points d’intersection des cercles (1) et (2) ; mais d restant indéterminé , la limite de cette valeur de x lui sera assignée par lu relation
qui servira à déterminer en même temps l’inconnue d. On en tire
PA et PB sont donc les limites des distances du point P à la circonférence.
D’ailleurs, si l’on observe que l’équation (B) est la relation nécessaire pour que les deux valeurs de (A)|se réunissent en une seule, on reconnaîtra que l’expression (C) est la condition de tangence des cercles (1) et (2''. Si l’on désigne a^-|- par D et d par r', cette condition deviendra ' = r' r ;
si l’on substitue à d sa valeur (G) dans les valeurs de or et y, on trouvera
ar
br J. . y A
. ; dou.2 = -,
qtii n’est que la condition (C) sous une autre forme.'
66. Par trois points donnés faire passer un cercle, ou déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit à un triangle donné (Gg. 36).
L’origine des axes rectangulaires étant placée à l’un des angles A du triangle, et le côté AB étant pris pour axe des x, si l’on désigne par 0,0; 0 , o ; a , A , les coordonnées des points A , B , C ,
Les équations des côtés seront
y = 0 , (AB) ; y = ^ a? , (AC) ; y = - — (tr — a), (BC).
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Enfin ,.a,p, étant les coordonnées inconnues du centre du cercle ' demandé , et p son rayon , l’équation de. ce cercle sera
Ce cercle devant passer par les points A , B et C , on aura^our dé terminer les inconnues de l’équation A les trois équations de condition
d’où l’on tire , en les combinant par soustraction ,
(2) — (1) ï= — 2ca = 0 , » (A)
(3) — (1) = a^ — 2a«+i2. 2Ap = 0, (B)
(3) — (2) = — 2(o — c)a-|-A^ — 2ip = 0. (C)
L’équation (A) , mise sous la foi me
représente la ligne MO perpendiculaire sur le milieu du côté AB. L’équation (B) prend la forme
et représente la ligne M'O perpendiculaire sur le milieu de AC.
Enfin l’équation (C) peut s’écrire
et si on la compare à celle du côté BC , on verra de même qu’elle représente la droite M'O élevée perpendiculairement sur le milieu de BC ; d’où l’on déduit la construction géométrique connue.
On conclut encore ce tliéorèine:
THÉORÈME
Les perpendiculaires élevées sur les milieux des trois côtés d’uQ triangle concourent en un seul et même point, qui est 'le centre du cercle circonscrit.
Les coordonnées de ce centre s’obtiennent facilement à l aide de
deux quelconques des équations (A), (^)et (C), et l’on trouve
c • — ac
La valeur de p devient nulle si = ae , c’est-à*-dire si le
triangle est rectangle en C ; et le ceûti-e se trouve au niUieu de la base.
Si |/a2-j-A^=:e=2a, c’est-à-dire si le triangle est équilatéral,
.et le centre est ^ué aux deux tiers de Ja hauteur , à partir du sommet.
A cause des valeurs de « et de ^ , on a
d’où et
4iV=(a2-f-A^) 2ac -f-a^) -4- i^] ya^+'P y{c-ay+l^ AC.CB
