AC.CB.AB

surf ACB =

De là le théorème :

La surface d’un triangle est égale au produit d« trois côtés divisé par le double du diamètre du cercle circonscrit.

Diqiîir' ^ CïûiJ^I

67. Décrire ud cercle tangent à trois droites donnéés (fig. 37).

Les axes étant disposés de la même manière que dans le problème précédent , et les notations étant les mêmes , le cercle demandé aura pour équation

(s — af + (y —

K , ^ et P, seront déterminés par les relations qu’on obtiendra entre ces inconnues et les constantes du problème , en exprimant que les porpendiculaires abaissées du point («, ^) sont toutes les trois égales au rayon p.

D’abord la perpendiculaire abaissée du point « , p, sur le côté AB , dont l’équation est y = 0, étant égale à l’ordonnée elle-même, on aura

La perpeudiculaire abaissée soi‘ le côté AC , dont l’équation est

* OjS — ia

a pour expression 3: 1| ^ 2 - ^

et la seconde équation de condition sera

ap — Aa

Enfin , pour la perpendiculaire sur le troisième côté BC , dont l’équation est

- c — a on obtiendra la troisième équation ,

(ar — o),

Le système des équations (1), (2) et (8) , peut être remplacé par le système des trois équations suivantes , qui sont le résultat de leur combinaison : . .. !

aS — ba Ka^ 4- *2

a^ — bx ^ (c — a) ^ — Afc~ a)

Vfl" + P

|/rc— aj2 + A2

Pour délerminer ces lignes droite^, sur lesquelles le centre du cercle tangentdoit se trouver, on observera que les deux premières prennent la forme

'-i/‘+ar '

mais de la formule générale

. „ , 2 tang A

tang 2A = R-„—

” 1 — tanq^ A

on tire

tang A =■

tang 2A

1 l/l -j- lang^ 2A ' .

On voit , par conséquent , que l’équation (A) est celle de la droite AO, et AO, passant par A , et divisant l’angle CAB et son supplément en deux parties égales.

De même l’équation B) renferme à la fois l’expression de deux droites BO, et Bü^, qui divisent l’angle CBA et son supplément en deux parties égales.

Quant à la troisième équation , elle est évidemment satisfaite par « = a , et j5 = A donc la ligne droite qu’elleVeprésenie passe par le point c.

De plus, si l’on y fait p = 0 , pour déterminer le point où elle coupe la base du triangle , on trouve

d’où

(c — àf -j-

ce qui montre que les deux sej^ments qu’elle détermine sur la base du triangle sont dans le rapport des côtés adjacents : donc celle ligne divise l’angle du sommet ou son supplément en deux parties égales.

De là la construction connue , et ce théorème :

Dans tout triangle, les trois droites qui divisent les trois angles intérieurs ^ en deux parties égales , ou bien deux suppléments et un intérieur, concourent en un même point.

S’il était question de décrire un cercle qui retranchât sur chacune des droites données une corde égale à 2 m, on déterminerait les quatre centres comme précédemment ; et de ces points, comme centres , et d’un rayon égal à

-}- le carré du rayon tangent ,

on décrirait les quatre cercles qui répondent au problème. Ilfcst facile de se rendre raison de cette construction si l’on se souvient que les cordes égales sont également éloignées du centre , et que par conséquent le problème revient toujours à déterminer les points à égale distance de trois droites données.

68. Si l’on remplace ^ par sa valeur tirée de l’équation (1) dans le% équations (2) et (3) , et si on élève les deux membres au carré , on trouvera , toutes réductions faites ,

ha^ — 2asa — — 0 ,

b{c — «)^ — 2 (c — o) (c — a) P — bp^ = 0. (5)

L’équation (5) , à cause de l’équation (4), se réduit à

d’où

2 a (A — p) — [Ac — 2 (c — o) p] = 0 ,

Ae — 2 (c — a) P

substituant cette valeur dans l’équation (4) , on obtient successivement

h \hc — 2(c — a)py — ûao(A — p) {hc — 2(c — a)’f] — khp\b — pŸ ~ 0 ; et ordoauaut par rapport à p , après avoir effectue les calculs ,