Les équations Jde condi^on
. £izii?L — „ .
— Pi
donnent directement les coordonnées des centres et les rayons des cercles tangents. En effet , à cause de l’équation (1). les deux équations suivantes prennent la forme
ap — Aa ± (3 (/ -j- ,
(c — a) (3 — A (e — — «)^-f-A*j d’où l’on tire sans difficulté
^ c(azf:l^a‘-\-P)
c zf — af ’
P zpl^(c — a)^-|- A*
Si donc l’on désigne par A le côté e = AB ,
par B le côté -f A* = AC , '
par C le côté (/(e — a)^-j-A^=BC, par 2P la somme des côtés (A -f B -f C) ;
et observant d’ailleurs que Ac= 2 surf ABC, les valeurs des rayons, abstraction faite des signes, seront
surf
pour le cercle O, , p, = pour le cercle O, , p* =
P ’ surf
fP— A) 5
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pour le cercle O. ;
pour le cercle O, ». p, = :
^llî’P 4
doù P. X P. X Pj X ^ J 3 ^ (-p .
et à cause de surf = |Xp (P -a' A) (P — B) (P — C) ,
P. X p.X Pj X p, = sürî ^ vérification de la remarque précédente, r désignant le rayon du cercle inscrit , on a
surf ACB=:(A-f,B + C)
De là le théorème connu :
La surface d’un triangle est égale à la somme des câlés multipliée par la moitié du rayon du cercle inscrit.
A cause de la formule
iHFf2 = rX p.X PaXpa,
on déduit cette autre expression de la surface du triangle
snrf P» X P3 X p^
70. Par deux poiuts donnés faire passer un cercle tangent à une droite donnée (tig. 38).
La droite donnée est prise pour axe des x , et l’origine des coordonnées rectangulaires placée au point d’intersection de la droite qui joint les points donnés A (a, b) et B (a', b') et de l’axe. L’équation du cercle sera toujours
et l’on aura pour déterminer «, p etp les trois équations de* condition
Si —
^a'~ .y + {b'-py = P^. ( 3 )
En vertu de l’équation (1) les deux autres deviennent . (a — «)^ = 0 ,
(a' — af — Ib’p = 0;
substituant dans la première lat valeur de p tirée de la seconde, on obtiendra, après avoir développé et ordonné ,
(b' — b') a — 2 (ab’ — a' b) a -|- (a^ - 1- — b{a'^-\- b'^ ; (F)
mais puisque la droite AB passe par l’ori{jinc , on a
d’où 1* ab' — o'A = 0 , et le second terme s’évanouit ; ^
„ a^^b^ ql^b’^ 2. J.2N 12 («''+*'")
et enfin A' (a* -j- A^) — A (a’^ — A’^ = — (A' — b) (a'^ -j^ A'^^ i j
l’éqnation précédente (F), en verlu'de ces réductions, prend la forme *- * ♦
et
r 2 p/a" + P ya'2 -f A’2 = o|
A' ya'2 + A'ï ' ,
donc enfin
Or «, d’après la disposition des actes^ dési{fne à la fois l'abscisse du centre et du point de tangence , et d’ailleurs ^
Ka^-fT' = = ÜB : J
■'âih-
' — 6 « ' les points de tangence , et les perpendiculaires T,0, , T.,0^, seront donc déterminées. ,
D’un autre câté, si l’on retranche l’une de l’autre les équations (2) et (3) , on trouve
(a2 a’2)-2«(a— 2i3(J — i’) = 0 ; équation qui prend la forme
et qui représente la droite 0,M0, , perpendiculaire sur le milieu de AB. * ■
De là cette construction : ,
Prolonger la ligne qui joint les points donnés jusqu’à sa rencontre avec la droite donné. Chercher une moyenne proportionnelle à OA et OB, qu’on^portera à droite et à gauche du point O en ’T, et T,; élever les perpendiculaires T.O, , T,0,, et les points O, et O., où ces pcrpci^culaires seront coupées par la p^||^diculaire 0,M0, élevée sur le milieu de AR, seront les centres ^ cercles cherchés.
Au 1^ de chercher par la méthode ordinaire une moyenne proporlion^lle à OA et OB , on peut faire passer par les points A et B une circmférence quelconque et la tangente menée du point O à cette cinCûnférence sera encor.e' la valeur de a.
Si b , c’est-à-dire si les deux points sont sur une ligne parallèle à ^ droite donnée , l’équation G devient celle d’une ligne perpendiculaire à l’axe des x , et le point de tangence est le point d’intersection de cette perpendiculaire avec l’axe. Le problème est ramené à faire passer un ccia:le par trois points donnés.
