U PROBLÈME

71. Pa j.un point donné faire passer un cercle tangent à deux droites données (St. 39). r,

. L’origine, dés axes rectangulaires est au point d’intersection des droites données, et la ligneu}ui divise leur angle en deux parlièa égales est prise pour axe dte x, le point donné étant dans cet angle. W

Les droyes OB , OC , auroMMur équations '

Digiii^pOa ! .*Gi‘OgU

■* . ' ' y= Ax,

' y=z — Ax, * '

A étant la tangente de la moitié de l’angle des deux droites.

Les perpendiculaires abaissées du centre du cercle cherché, dont les coordonnées sont a, S, sur ces droites , auront pour expression, P étant Je rayon du cercle cherché ,

ki+A^ /

On remarquera que les perpendiciriaires ont une direction inverse l’une de l’autre , ce qu’exprime la dilTérence de signe.

D’ailleurs le cercle demandé devant passer par le point A (a, h), la troisième équation de condition sera

Les équations (1) et-(2) donnent 6 = 0, ce qu’on savait à priori, puisque le centre du cercle tangent aux deux droites doit se trouver sur la ligne qui divise leur angle en deux parties égales.

Cette condition change l’équation (3) en .•ü (o - a)2 -}- A2 = , '

relation qui convient à la fois au point A ( a , A ) et à son symétrique A' (a, — A). Le cercle cherché passe donc par ces deux points, et le problème est ramené au précédent, c’est-à-dire à faire passer par les deux points A et A' un cercle qui touche l’une des droites ; ce cercle sera aussi tangent à l’autre.

Deuxième solution. A cause de 6 = 0 , les équations (1) et (2) donnent à la fois (ç;

= fx = p ;

et comme

: sin (± A) ,

Kl-fA^

a sin (± A) — p. \

Or, si d’un point quelconque de la ligne qui divise en deux

parties égales l’angle des deux droites , D par exemple, pris pour centre , on 4écrit une circonférence tangente aux deux droites , en désignant la distance OD par , et le rayon DS par r , on aura aussi

</ sin (d; A) = r ,

dou - = — .

Si donc on joint OÂ , qui coupe les cercles D , C, et C. , aux points I, I'; G, A J A, H, on aura