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^ ~h (^-h*") tang
Sur ces deux longueurs , comme diamètres , on décrira des
ép™rsToT P"'*'®"" OT’, OT»,
égalés à OT tangente menee du point O au cercle donné • les ra
T P.’ T - ^ l ^ ‘•'■«'«e et à gauche des noints
L et L , onobtiendra les quatre points V, V’ V” ’V”’ m't Ipc ^ i
cherchés doivent toucher la droite OC axedesir p/i
'8'"“ '“"8" .1“ 8roi.es «’
Si le cercle donné est compris entre les deux droites Ipc i derntères solutions sont remplacées par la valeur ’
« («+(*-r)tang0'(a2+A2^j ,
résultat provenant de l’équation ■ ' .
ay + (C~i)2~(^
: la condition de tangence des deux cercles est en général -■ • ■ (« - a;^ + (e A)2 - ^ " . ' ,
les équations de condition spront , en embrassant tpus les cas pos-
sibles ,
Si l’on retranche successivement les deux dernières équations de la première, on trouvera
2a.“+2i^q: 2(r,±:r,)p==a.2-j-i,2-t-rj2— r,2. (5)
Cela posé, soient x, y, les coordonnées du point de tan{;ence du cercle avec le cercle dont le centre cherché est l’origne des axes : ce point devant se trouver à la fois sur la circonférence de ce dernier cercle et sur la ligne qui joint les deux centres, on aura les deux relations
L’équation ( 7 ) donne
et à cause des équations (1) et (6) ,
Maintenant, si dans les équations (4) et (5) forme •
mises sous la
2o,«-f 24j3.^.2(r,±:r.) (pnLr,)==a.2+A,2-|-r,2— r,q;2(r,±r.)(±^^^ , • '
2a a+2A.prp2(r,±r.) (p±:r,)=o.2-f-i.2- (r 3 -r.)qr 2 (r 3 rhr.) (±r,),
on substitue les valeurs de k et j3 trouvées précédemment , on obtiendra
Soien t C, , C, , C, , les cercles donnés ; 0(,, , 0( ,, , 0^,, j) , les centres de similitude extérieurs correspondants aux cercles indiqués par les notations. Les polaires se coupent en P, , P, , P, , dans les cercles C,, C., C,, et les dishomologueseu un même point D(n°.57). Les droites PjD, P,D, P.D, détermineront les points de tangence Tj, T., T,, par lesquels le cercle tangent devra passer.
On peut encore déterminer le centre en menant les rayons CjTj , C.T. , C,T, , qui concourent au même point.
Cette conclusion ne donne qu’un cas particulier du problème , celui où le cercle cherché est touché extérieurement par les trois cercles à la fois. On trouvera les sept autres solutions en combinant les polaires entre elles , et en remarquant que les droites qui joignent les points de rencontre des polaires et celui de concours des dishomologues coupent chaque cercle en deux points. Il est en effet facile de voir, p#r les équations (9), (10) (fig. (11) et 12) , que les problème est susceptible de huit solutions.
74. Décrire un cercle tangent k deux cercles donnés , et passant par un point donné (fig. 45).
D’après ce qui a été dit (n® 58) , il nous suffira de renvoyer à la figure pour la solution de ce problème et des suivants.
75. Décrire un cercle tangent à un cercle donné , et passant par deux points donnés (fig. 46).
76. Décrire un cercle tangent à deux cercles donnés et k une droite donnée (fig. 47).
Les polaires sont les tangentes parallèles aux droites.
77. Décrire un cercle tangent à un cercle donné et ï deux droites données (fîg. 48).
Les polaires sont les tangentes au cercle parallèles aax droites données. Les disbomologues se confondent avec les droites Q, C, ; l’intersection du cercle Cj avec DP déterminera le point de tangence T, J le centre du cercle cherché sera à l’intersection du rayon QT, et de la ligne DC, qui divise l’aqgle des droites en deux parties égales.
78. Décrire un cercle tangent à un cercle et à une droite donnés, et passant par un point donné (fig. 49).
Le point de taugcnce T, étant déterminé par l’intersection itvec le cercle C, de la droite PD , qui joint les points d'intersection des polaires et des dishotnologues, le point de rencontre du rayon et de la droite TC, perpendiculaire sur le milieu de la droite C,Tj , sera le centre du cercle cherché.
Lorsque chaque flgure ne présente qu’une solution du problème qui leur correspond , il est facile d’y suppléer pour trouver toutes les autres solutions que chacun d’eux comporte. Au surplus, la ligure (50) réunit les quatre solutions du problème 77.
