C. cos (C. , x) = a, a, C, sin (C. , 'x) = i, i

Cj cos (Cj , a?) zzi Oj — Oj J Cj sin (Cj', x) ij ij >

Cj cos (Cj , x) == flj — Oj , etc. ; C, sin (C, , x) = Aj — A, , etc. ;

si le polygone est fermé , = a,, A^^ = A;

et par suite, ajoutant les équations précédentes membre à membre, on trouve . '

C. sin (C, , x) -f- Cj sin (C, , x) -}- Cj sin (Cj , x) -|- etc. = 0 , (A)

C. cos (C. , x) -j- C, C 08 (Cj , x) -|- Cj cos (C, , x) -f- etc. = 0. (B)

De là ce théorème : -

Dans tout polygone fermé, la somme algéhriqne des produits de chaque côté par le sinus ou le cosinus de l’angle qu’il fait avec une droite quelconque est égale h «éro.. - ' .

- Si le polygone était régulier , on aurait ‘ ' ’ ■

sin (C. , x; -J- sin (Cj, x) sin (C, , x) -j- etc. := 0 , cos (C, , x) -j- cos (Cj , x) -j- cos (Cj , x) -f- etc. = 0.

Si la droite à laquelle on rapporte les angles devenait parallèle ou se confondait avec l’un des côtés du polygone,. G, par exemple, la formule (B) deviendrait

C, Cj cos (C^ ) C,) -j- Cj cos (Cj , C,) cos , C,) elc . 0 ;

et par couséquent si a, b, c, d, etc. , représentent les côtés d’un polygone fermé quelconque , on aura les formules générales des polygones ^

a-\-b cos (i , fl) c cos {e , a)-\-d cos {d,a)-\- elc. = 0 , b-\- a cos {a,h)-\-c cos (c , i) ^ cos (<i, h) -f- etc. = 0,1 O -j- a cos (a, c)-\- b cos (A , c) -|- d cos (d, c) -f- etc. = 0 , etc. , etc. . I

00, Étant donné un nombre quelconque de joints , mener au traverj de ces points une droite telle , que la somme algébrique des perpendiculaires abaissées sur elle de chacun de ces points Mit égale à unedoqgueur

donnée.

Les notations étant les mêmes que dans le problème précédent ,

soit

IK. 'I.' ■..'.l-

y = Aar -f- B

l’équation de la droite cherchée. ■ ; i- ’

Les perpendiculaires menées des points {a^,b,), (a,, A,),

etc., à cette droite, auront pour expressions v

(B — A. ) Aa, (B — A.) -j- Aa, (B — A,) -{- Ag,

Kï+p- ’ ’ |/r+p ’ ’

ét , d’après l’énoncé ,

(B-A.)+Aa. ; (B-AJ4-Aa. (B-A3) + Ai7, . ,

Celle équation , dans laquelle A et B restent indéterminés, montre qu’il y a une infinité de droites qui répondent à la question. Mais si l'on suppose que la droite cherchée passe par un point (?,$), on aura

f=AÇ,"4"®» d'où B = 9 — A5»

et l’équation précédente deviendra fy^A.l— A (g— a.) . (y— A,)-A(g— g,) , (y-A 3 )-Ag-g,)

l/ï+p l/i-fA*

OU bien epcore ' , ■ ■ i

T+T+.fitÇ--,— +•••)— («.■+q.+«s--Q] ^ , et les points donnés étant en nombre n,

d’où enfin ■ ■ ' ■ ■ '

,«)■*» :ti î‘*. J. •>; 1 . *■'•.'* ••fiit tJ- ‘ V •» ' ‘ ' ■ 1.1 - '■■J -i'

Si l’on se reporte aa n'ùS, éqnation (1) , on reconilaîtra dans cette expression que la droite passant par le point (y , Ç) est tangente au cercle dont le centre a pour coordonnées

" .1 : I 'i. -I i. .! I ..L'.liJi

A, + ù. -I- A 3 -I- etc. a, 0 , 4- «J etc. . l ‘

~ — • ^ ^ ^ et pour rayon - .

Sans rien spécifier de la droite cherchée , l’équartion ( 1 ) ÿ mise sous la forme

(équation T' dun®/U), indique encore que toutes' les droites cherchées sont tangentes au cercle désigné ci-dessus.