Si /= 0, l’équation ( 2 ) devient
, , ù.-fA.-f Aj-l-etc. ^ / a, -h a, -h fl 9 +-etc. \
la droite cherchée passe donc par le point
/ b, 4- A, A 3 + etc, fl, + a,4- Cj-l-eRî. X \ n ^ ’ , n /
82. Ce point, qu’on a nommé centre des moyennes distances > se trouve facilemcmt par la construction suivante :
Soient A, , A, , A,, ’A, , etc. les points donnés; OY et OX,- les axes anxquels les coordonnées (a, , A,), (oj, ij) , (^7^, ,
etc., sont rapportées.
Par le milieu I, do la droite A, A, on abaisse l’ordonnée I.H. , et si on la représente par B, , on aura-
joignant I, et A, , et divisant I.A, en trois parties égales , l’ordonnée I.H.= B, , à cause des parallèles I,H., AjP, , sera déterminée par la proportion.
d’où
De même joignant I.A^ , et divisant cette ligne en quatre parties égales , l’ordonnée = B^ , correspondant au premier point de division à partir dn^int I, , sera déterminée par la proportion
d’où
On voit facilement comment on étendrait, cette construction à un nombre quelconque de points.
Il est évident que les mêmes relations existent pour les abscisses de ces points. tk
85. On appelle centre de figure d’un polygone un point tel , que toute sécante y est coupée en deux parties égales.
Il ne faut pas confondre le centre des moyennes distances des sommets d’un polygone avec le centre de ligure. Tous les polygones réguliers d’un nombre de cêtés pair ont un centre de ligure qui est le même que le centre des moyennes distances, qui se confond avec le centre du cercle circonscrit. Les polygones rt^uliers d’un nombre de côtés impair n’ont point de centre de figure.
84. Trouver le lieu géométrique des points tels, quels somme des carrés det distances de chacun d’eux à un nombre quelconque de points donnés soit égale à. une surface donnée m’.
Si V et € sont les coordonnées d’un point quelconque du lieu géométrique cherché , on trouvera tout d’abord , en conservant les mêmes notations,
+(? — + (? — oO’
etc.
et développant
équation d’un cercle dont le centre a pour coordonnées
coordonnées du centre des moyennes distances.
Si l’on transporte l’origine à ce point , l’équation du cercle prendra la forme
, Le lieu géométrique est donc un cercle qui a son centre au centre des moyennes distances des points donnés , et pour rayon ^ la racine carrée de l’excès de la surface donnée sur la somme des carrés des distances du centre des moyennes distances à chacun des points donnés, divisé par le nombre des points.
8tS. Si le nombre de ces points est pair , et qu’ils soient les sommets d’un polygone régulier, le centre des moyennes distances se confond avec le centre du cercle circonscrit au polygone; alors, R étant le rayon du cercle circonscrit , on aura
d’où tn^~n (R^ -4- e‘). ,
De là ce théorème: ‘
Étant donné un polygone régulier d’on nomJire de cdlés n pair inscrit dans luie circonférence de rayon R , si on décrit une autre circonférence concentrique et de rayon p, la somme des carrés des distances de chacun des points de cette dernière circonférence à chacun des sommets du polygone sera (R^ -j- p^') , c’est-à-dire constante.
, THÉORÈME
86. Si d’un point quelconque intérieur à un polygone régulier on abaisse des perpendiculaires sur chacun des côtés de ce polygone , la somme de ces distances est constante.
L’équation d’un des côtés du polygone étant
la perpendiculaire abaissée du point y , ï , sur ce côté , aura pour expression ■
y (a. - af -r
de même pour les autres distances
n — Cy — — gj) - — «.) (^. - ^3)
n (y — i}) (« 3 — q« ) — (g — «3) (^3 — etc.
d’on D, -f- D. Dj -f etc... =
f/(a,-a,y+[b-bf AA)' ^
lf/(a,-a^^-h(6,-b.y ^
I («A- «A) I A^.-flA) [ 4..
Or, d’après l’énoncé , •
et les termes efl ^ et ç s’évanouissent ; la somme des distances devient donc, en désignant par e le côté du polygone régulier,
D,-f D.-j-Dj-f-..
TI r .1 1 . — tt,b.
Il est facile de voir que - — , etc. , sont les
expressions des perpendiculaires abaissées de l’origine sur chacun
des côtés (a, A, , a.Aj , aj >^ , etc, ; et si l’on suppose l’origine
au centre du polygone régulier, r étant le rayon du cercle inscrit ,
on aura
— a fi, afi, — a,bj afi^ — afi^
de là , par conséquent ,
n exprimant le nombre de côtés du polygone régulier.
