La distance des points milieux sera nulle si

ÎSràTaTb.'’' ‘ 1"’“"

d’où l’on tire

et k'(o7^=^^i:-i.)^ = i^(o,-o,)4(*s-A4)^ ,

V' (o.— 03 ) 2 -f(ù— ^3)2 = 1/ (a^a,)24-(6.— * 3)2 , c’est-à-dire à moins que les côtés opposés ne soient égaux ou pa- , rallèles : donc

Dans tout parallélogramme , les diagonales se coupent en deux parties égales , et la somme de leurs carrés est égale à la somme ^es carrés des quatre côtés.

91. Le milieu de la ligne qui joint les milieux des diagonales est le centre des moyennes distances des quatre sommets.

' En effet, ce point a évidemment pour coordonnées

o.-Hoa I ^.+^4 I

THÉORÈME

02. Dans tout trapèze , la ligne qui joint les milieux des diagonales est parallèle aux deux bases.

En effet , le parallélisme des deux côtés étant exprimé par la relation

on en tire

(ù,— ù.) -f- (bJ—b^) b— b, Ù3— Ù4

(«.—fl.) +(«3— «4) fl.— fl. «3— «4*

Le premier membre peut se mettre sous la forme

ffl.+fls

et celte fraction est l’expression de la tangente de l’angle que la ligne des milieux des diagonales fait avec l’axe des ar ; ce qui démontre le théorème.

THÉORÈME

dS. Si l’on divise les quatre côtés d’un quadrilatère, en allant dans le sens du périmètre , en parties proportionnelles , mais en renversant le rapport pour les deuxcôtés4u même angle , les ligues qui joignent les quatre points de division forment un parallélogramme.

TJX

Les coordonnées du point de division du côté (o, A,) (a^ «

étant le rapport , sont évidemment

a,n-j-a,m A.n-j-A.m m-j-n ’ tn-\-n ’

et celles du point de division du côté suivant , le rapport étant renversé ,

et par conséquent la ligne qui joindra ces deux points fera avec l’axe des x un angle dont la tangente sera

rA,n-f-A,wil rb,m-\-b^n L m-\-n J l

r g.wt-|-a,7t '

expression qui se réduit à

donc la droite qui joint les points de division est parallèle à la diagonale sur laquelle les deux côtés reposent.

Il en serait de même de la ligne de division des deux autres côtés: donc ces deux ligues sont parallèles.

On démontrerait de la même manière que les deux lignes de division des quatre côtés qui reposent sur la seconde diagonale sont parallèles à cette diagonale, et par conséquent parallèles entre elles.