F CL

on trouvera * ^

XY = [/ {.X — ia? -{-ka(x — a) sin^i A ;

développant le radical , réduisant et remplaçant ai^ par

on obtiendra XY

sin^ ^ A C06^^ A ,

expression générale de la partie comprise d’une sécante quelconque passant par M.

Or, il est évident que la quantité sous le radical aura la plus petite valeur possible si (a?— 2o)= o, d’où x = 2a, et par conséquent y = 2a et X = y.

Il sufOt donc pour trouver cette sécante minimum de mener, par le point M , XMY perpendiculaire à AM.

Celte, valeur minimum est XY = ha sin - k.

18. 2° Pour résoudre la seconde question , il faut rendre mini-

I» . xt/sinA: ... . , . . .

mum 1 expression — , qui est 1 expression du triangle intercepté XAY.

Substituant à y Sa valeur trouvée précédemment, et égalant à une nouvelle inconnue x l’expression résultante, on aura '

«x^ sin k'

d’où l’on voit que la plus petite valeur de x est x= 2«* sin k.

On a de plus x = 2a , d’où y = 2a et x y.

La ligne trouvée précédemment a donc la double propriété d’être la plus courte sécante comprise, et d’intercepter la plus petite surface triangulaire.

La surface du triangle AXY XY . AM ; ' x

et^mme AM = 2a cos ^ A et XY = ùa sin - /t ,

AXY = ha^ sin 4 k cos - k.

Si on compare celte expression avec la valeur de X,

X = 2a^ sin A , ,

, on trouvera, comme vérification , la formule connue ' •

sm A = 2 sin - A cos - A.

D après ce qui précède, on peut facilement résoudre ce problème : Mener au travers de deux droites données qui se coupent une sécante minimuna qui détermine un triangle d’une surface donnée.

19. De Ions les triangles de même base et de même hauteur , trourer celui du plus petit contour. :

Soient la base douiice, h la hauteur, et x l'un des deux segments delà base formée par la perpendiculaire abaissée du sommet, hi somme des deux autres côtés du triangle étant représentée par 2s> on aura évidemment